Представление веществ. числа бесконечной десятичной дробью.

[StaticZero]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499833 писал(а):

Тогда $0,125$ по нашему выбору может включаться как в один, так и в другой из двух соседних промежутков.

Число $\overline{0{,}125n} = 0{,}125+n\cdot 10^{-4}$, $n \in \{1,2,\ldots,9\}$ можно включить только в один промежуток.

Я так и не понял, в чём у вас проблема. Замечу на всякий случай, что десятичная запись числа (ну то есть всевозможные её обрезания, типа как у $1/\sqrt 2$ это $0$, $0{,}7$, $0{,}70$, $0{,}707\ldots$) предоставляет естественным образом систему вложенных отрезков, чьей общей точкой является искомое число, и этот естественный образ состоит в том, что просто берётся с левой стороны очередное обрезание, с правой -- оно же с прибавленной младшей цифрой разряда, так что получается в итоге $0 \ldots 1$, $0{,}7 \ldots 0{,}8$, $0{,}70 \ldots 0{,}71$ и так далее.

Вы предлагаете ввести в рассмотрение другую конструкцию: справа обрезание, слева оно же с вычтенной цифрой разряда, так что получится $-1 \ldots 0$, $0{,}6 \ldots 0{,}7$, $0{,}69 \ldots 0{,}70$ (ну и до кучи сюда $0{,}706 \ldots 0{,}707$).

У вас получается увидеть, что:
а) в первом случае (естественный случай) имеем систему вложенных отрезков с единственной общей точкой (для иррациональных чисел они "плавно" стягиваются, а для рациональных просто вырожденная получается с некоторого момента, и все последующие отрезки состоят из одной точки для рациональных тоже, если дополнять нулями, общая точка получается просто на краю тогда, спасибо Odysseus)
б) во втором случае получается кривая каракатица, где каждый следующий отрезок системы не лежит внутри предыдущего, а лишь пересекается с ним по одной точке -- правому краю отрезка


-- 09.01.2021 в 13:18 --

Ну и на вопрос типа "а почему так получается, что мы предпочитаем отращивать отрезки вправо, а не влево, чтобы получалась хорошая система отрезков" я уже половину ответа вам выложил, это вы уже догадайтесь как-нибудь...

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
Здесь, разумеется, два промежутка, но раньше вы писали про что-то другое

Vladimir Pliassov в сообщении #1499688 писал(а):

Поскольку граница - по нашему произволу - может включаться в любой из этих промежутков (и при этом исключаться из второго промежутка), мы можем считать и $\alpha$ включенным в выбранный промежуток.

Это неверно. Это замкнутые промежутки, поэтому $0{,}125$ принадлежит им обоим, в отличие от границы между сечениями. Мы не "исключаем" $\alpha$ из одного из этих промежутков, а просто не рассматриваем далее этот промежуток.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499688 писал(а):

рациональное $\alpha$ -- после совмещения с границей между некоторыми двумя промежутками -- по нашему выбору может находиться либо в одном, либо в другом из них, и в дальнейшем совершается дробление того отрезка, в котором находится $\alpha$, а тот, в котором оно не находится, не дробится.

Тоже неверно по аналогичным причинам. $0{,}125$ находилось и во втором промежутке, просто второй промежуток мы далее не рассматриваем.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499688 писал(а):

Во-первых, число $\alpha$ совпадает с одним из концов промежутка -- с левым или с правым -- не по нашему произволу, а в соответствии с разложением на простые множители -ичности дробления и знаменателя дроби, представляющей $\alpha$, а также от ее числителя

А здесь что-то совсем непонятное. Если $\alpha$ это целое число или конечная десятичная дробь (при данном шаге дробления отрезка, т.е. при выбранной системе счисления), то произвол будет всегда.

В общем, вы все непонятно усложняете, хотя все очень просто. Когда говорят, что приравнивают $\alpha$ левому или правому концу промежутка, то имеют в ввиду, что выбирается один из двух замкнутых промежутков в которые попадает конечная десятичная дробь $\alpha$ (при этом $\alpha$ совпадает с левым концом одного и с правым концом другого), и далее дробится уже только он. Это все, что нужно представлять в данной ситуации.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499842 писал(а):

Левый промежуток можно представить как

$$[0,1249999\ldots\,\,\,\,\ , \,\,\,\,0,125],$$

Так лучше не писать. У каждого конкретного конечного промежутка всегда конечное число десятичных знаков у каждого из его концов. Вы написали некоторое условное представление для предела промежутков, а не для одного из них.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499842 писал(а):

правый как

$$[0,125\,\,\,\,\ , \,\,\,\,0,126-0,0009999 \ldots]$$

А так тем более лучше не писать. Справа должно быть не $0Х{,}126-0{,}0009999 \ldots$ (это не десятичная запись числа), а $$0{,}12500001$ c некоторым конечным количеством нулей перед последней единицей. И, опять же, выбирается только один из промежутков, в которые попадает $0{,}125$ после очередного деления, и далее дробится только он.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499842 писал(а):

Если бы число девяток было бесконечно (если бы это было возможно), промежутки были бы точками. (?)

Но поскольку это невозможно, промежутки в таком виде представляют собой стремления к пределу $0{,}125$.

Одна точка это тоже промежуток (он называется "вырожденным"), в таком случае он обозначается как $[a,a]$ Но в данном случае такого не происходит, все промежутки имеют ненулевую длину, хотя она в пределе и стремится к нулю. И корректнее писать, что концы промежутков стремятся к пределу $0{,}125$, а не сами промежутки. Есть т.н. "принцип вложенных отрезков", который напрямую относится к данной ситуации.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1499855 писал(а):

выбирается один из двух замкнутых промежутков в которые попадает конечная десятичная дробь $\alpha$ (при этом $\alpha$ совпадает с левым концом одного и с правым концом другого)

Но ведь это то самое, что и я написал в первоначальном сообщении:

Vladimir Pliassov в сообщении #1499536 писал(а):

Здесь, как я понимаю, имеется в виду не два конца одного и того же промежутка, а один и тот же конец для двух разных (соседних) промежутков, он левый для правого промежутка и правый для левого. $\alpha$ совмещается с этим концом.

по поводу

Цитата:

Дело в том, что в некий момент число $\alpha$ совпадает с одним из концов промежутка, в который мы его заключаем -- с левым или с правым по нашему произволу; начиная с этого момента, соответственно, слева или справа в (1а) уже $\,\,\,\, $ п о с т о я н н о $\,\,\,\,$ будет иметь место равенство. (Фихтенгольц. http://ind.pskgu.ru/ebooks/f1/001.pdf , конец стр.22, начало стр.23)

-- 09.01.2021, 14:43 --

Odysseus в сообщении #1499855 писал(а):

выбирается один из двух замкнутых промежутков в которые попадает конечная десятичная дробь $\alpha$ ... и далее дробится уже только он.

И это я тоже написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1499688 писал(а):

и в дальнейшем совершается дробление того отрезка, в котором находится $\alpha$, а тот, в котором оно не находится, не дробится.

[Odysseus]

"Один и тот же конец" для двух разных промежутков говорят только в тех случаях, когда он одновременно левый или одновременно правый для обоих промежутков, а не когда он левый для одного и правый для другого. И как я вам уже писал, не говорят "промежуток слева от $\alpha$" или "промежуток справа $\alpha$" если $\alpha$ находится в этом промежутке. Поэтому было очень сложно понять, что вы имеете в виду. После этого вы стали писать уже совсем неправильные вещи, на что я и обращал ваше внимание.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499865 писал(а):

И это я тоже написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1499688

писал(а):
и в дальнейшем совершается дробление того отрезка, в котором находится $\alpha$, а тот, в котором оно не находится, не дробится.

$\alpha$ находится в обоих отрезках! Просто мы выбираем только один из них и далее работаем только с ним.

И то, что вы явно что-то понимаете неправильно следовало также из

Vladimir Pliassov в сообщении #1499779 писал(а):

....
$0,12500=0,125<0,12500+0,00001=0,12501$

Получается что-то не то.

Давайте еще раз. Напишите последовательно два варианта разбиения $[0,1]$ для $0{,}125$ и соответствующие два варианта десятичного представления этого числа. Не спеша и подробно, комментируя свои действия. И чтобы у вас снова не возникло путаницы, указывайте при всех разбиениях замкнутые промежутки.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1499869 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1499865 писал(а):

и в дальнейшем совершается дробление того отрезка, в котором находится $\alpha$, а тот, в котором оно не находится, не дробится.

$\alpha$ находится в обоих отрезках! Просто мы выбираем только один из них и далее работаем только с ним.

Да, конечно! Это я опять выпустил из виду. Не подумав, я привел цитату из того времени, когда я еще отождествлял "не находится" и "не находится в нашем представлении."

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1499869 писал(а):

Давайте еще раз. Напишите последовательно два варианта разбиения $[0,1]$ для $0{,}125$ и соответствующие два варианта десятичного представления этого числа. Не спеша и подробно, комментируя свои действия. И чтобы у вас снова не возникло путаницы, указывайте при всех разбиениях замкнутые промежутки.

Первый вариант.

$0,1<0,125<0,2$ --------- $0,125$ находится в сегменте $[0,1; \;\; 0,2]$

$0,12<0,125<0,13$ --------- $0,125$ находится в сегменте $[0,12;\;\; 0,13]$

при следующем разбиении $0,125$ совмещается с границей между сегментами $[0,124;\;\; 0,125]$ и $[0,125;\;\; 0,126]$, мы выбираем сегмент $[0,124;\;\; 0,125]$, дробим его, получаем:

$0,124+0,0009=0,1249<0,125$ --------- $0,125$ находится в сегменте $[0,1249;\;\; 0,125]$

$0,124+0,00099=0,12499<0,125$ --------- $0,125$ находится в сегменте $[0,12499; \;\; 0,125]$

$0,124+0,000999=0,124999<0,125$ --------- $0,125$ находится в сегменте $[0,124999;\;\; 0,125]$

или

$0,124(9)<0,125$ (здесь не отображаются приближения по недостатку и по избытку из первых двух шагов).

Можно написать: $0,125=0,124(9).$

Второй вариант.

$0,1<0,125<0,1+0,1=0,2$ --------- $0,125$ находится в сегменте $[0,1; \;\; 0,2]$

$0,12<0,125<0,12+0,01=0,13$ --------- $0,125$ находится в сегменте $[0,12;\;\; 0,13]$

при следующем разбиении $0,125$ совмещается с границей между сегментами $[0,124;\;\; 0,125]$ и $[0,125;\;\; 0,126]$, мы выбираем сегмент $[0,125;\;\; 0,126]$, дробим его, получаем:

$0,125=0,125<0,125+0,001=0,126$ --------- $0,125$ находится в сегменте $[0,125;\;\; 0,126]$

$0,1250=0,125<0,1250+0,0001=0,1251$ --------- $0,125$ находится в сегменте $[0,125;\;\; 0,1251]$

$0,12500=0,125<0,12500+0,00001=0,12501$ --------- $0,125$ находится в сегменте $[0,125;\;\; 0,12501]$

$0,125000=0,125<0,125000+0,000001=0,125001$ --------- $0,125$ находится в сегменте $[0,125;\;\; 0,125001]$

или

$0,1<0,125<0,2$

$0,12<0,125<0,13$

$0,125=0,125<0,126$

$0,1250=0,125<0,1251$

$0,12500=0,125<0,12501$

$0,125000=0,125<0,125001$

Непонятно вот что.

В первом случае пишем: $0,125=0,124(9)$ -- здесь $0,125$ показано в виде конечной дроби и в виде стремления к этой конечной дроби как к пределу (правильно?).

Но во втором случае почему-то пишется $0,125=0,125(0)$, а не, например, $0,125=0,126-0,000(9)$, то есть стремление к пределу не показывается, а показываются нули, которые к стремлению к пределу не имеют прямого отношения.

[Odysseus]

Разбиения правильные, только здесь некорректно:

Vladimir Pliassov в сообщении #1499930 писал(а):

$0,124(9)<0,125$ (здесь не отображаются приближения по недостатку и по избытку из первых двух шагов).

Можно написать: $0,125=0,124(9).$

Не нужно писать $0{,}124(9)<0{,}125$, даже если вы под этим понимаете что-то неформальное, поскольку это просто неверно. И не "можно написать" $0Х{,}125=0{,}124(9)$, а именно так и только так нужно писать. Еще раз напоминаю две причины такого равенства:
- Между этими числами нельзя вставить никакого другого числа.
- Представление в виде десятичной дроби числа $0{,}125$ (ну или числа $\frac{1}{8}$, если мы не хотим сразу задавать для него какое-то конкретное десятичное представление) это десятичное представление левого конца интервалов в которых находится $\frac{1}{8}$ при соответствующих разбиениях. А слева при этом находится именно $0{,}124(9)$

Vladimir Pliassov в сообщении #1499930 писал(а):

Непонятно вот что.

В первом случае пишем: $0,125=0,124(9)$ -- здесь $0,125$ показано в виде конечной дроби и в виде стремления к этой конечной дроби как к пределу (правильно?).

Неформально можно сказать "показано и в виде стремления к этой конечной дроби как к пределу". Но фактически $0,124(9)$ это просто еще одно десятичное представление числа $0{,}125$. Для сравнения, мы знаем, что $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$, но мы же не говорим при этом "в $0{,}(3)$ показано стремление к $\frac{1}{3}$ как к пределу". Это просто и есть "целое и единое" выражение для $\frac{1}{3}$ в виде десятичной дроби.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499930 писал(а):

Но во втором случае почему-то пишется $0,125=0,125(0)$, а не, например, $0,125=0,126-0,000(9)$, то есть стремление к пределу не показывается, а показываются нули, которые к стремлению к пределу не имеют прямого отношения.

Сразу несколько причин :)
1) Так число $0{,}125$ в десятичном виде не представляют, поскольку справа не десятичное представление числа, а разность между двумя числами.
2) По принятому соглашению, десятичное представление числа $\alpha$ это десятичное представление левого конца интервалов в которых оно находится при соответствующих разбиениях, а не правого. Что было бы при другом соглашении, см. в моем примечании мелким шрифтом к http://dxdy.ru/post1499788.html#p1499788
3) Как я уже выше писал выше, "стремления к пределу" ни в каком десятичном представлении для рациональных чисел нет. А если вы хотите неформально представлять, то в $0{,}125(0)$ тоже есть "стремление к пределу". Любая последовательность из одинаковых чисел стремится же к пределу выражаемому этим числом.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1499942 писал(а):

Не нужно писать $0{,}124(9)<0{,}125$, даже если вы под этим понимаете что-то неформальное, поскольку это просто неверно.

Да, это был промах (я ведь это знал).

-- 09.01.2021, 21:34 --

StaticZero в сообщении #1499852 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1499833 писал(а):

Тогда $0,125$ по нашему выбору может включаться как в один, так и в другой из двух соседних промежутков.

Число $\overline{0{,}125n} = 0{,}125+n\cdot 10^{-4}$, $n \in \{1,2,\ldots,9\}$ можно включить только в один промежуток.

Спасибо! Да, в правый.

StaticZero в сообщении #1499852 писал(а):

десятичная запись числа (ну то есть всевозможные её обрезания, типа как у $1/\sqrt 2$ это $0$, $0{,}7$, $0{,}70$, $0{,}707\ldots$) предоставляет естественным образом систему вложенных отрезков, чьей общей точкой является искомое число, и этот естественный образ состоит в том, что просто берётся с левой стороны очередное обрезание, с правой -- оно же с прибавленной младшей цифрой разряда, так что получается в итоге $0 \ldots 1$, $0{,}7 \ldots 0{,}8$, $0{,}70 \ldots 0{,}71$ и так далее.

1.

$0$, $0{,}7$, $0{,}70$, $0{,}707\ldots$ это

$[0; \; 7]$
$[0; \; 0,70]$
$[0; \; 707]$?

2.

$0 \ldots 1$, $0{,}7 \ldots 0{,}8$, $0{,}70 \ldots 0{,}71$ -- здесь никак не могу понять, не могли бы Вы расписать подробнее? И почему в начале $0 \ldots 1$? Ведь $1/\sqrt 2=0,70710678122\ldots$

[StaticZero]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499951 писал(а):

$0$, $0{,}7$, $0{,}70$, $0{,}707\ldots$ это

Это последовательные приближения к $1/\sqrt 2$ по недостатку. Числа, сиречь.

Возьмём очередное приближение по недостатку. Найдём его младший разряд (то есть у приближения $0{,}70$ младший разряд даётся числом $10^{-2}$), добавим в него единицу (получается $0{,}71$). Искомое число лежит в полученном интервале $0{,}70 \ldots 0{,}71$.

Интервал для предыдущего приближения был $0{,}7 \ldots 0{,}8$. Он полностью содержит следующий интервал, который мы уже нашли. Тот следующий будет содержать следующий за следующим, и т. д.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо, буду думать.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1499788 писал(а):

Можно было бы выбрать десятичное представление $\alpha$ в виде правого конца промежутка, но тогда для целых и конечных десятичных дробей вместо альтернативного варианта с периодом $(9)$ в конце десятичного представления пришлось бы, для тех случаев когда в определенный момент я приравниваю $\alpha$ левому концу промежутка, придумать обозначение для десятичного представления в котором в конце как бы есть $1$ в последнем разряде, но он все время "убегает в бесконечность". Это сложнее обозначить и объяснить, поэтому таким способом не пользуются. Но фактически, именно это и происходит с текущим выбором десятичного представления $\alpha$ в виде левого конца промежутка. Там же тоже слева в последнем разряде для $\alpha$, если при очередном делении мы приравниваем $\alpha$ правому концу промежутка, как бы есть $1$ (если в периоде $(9)$ оставить только конечное число знаков), но этот $1$ все время убегает в бесконечность.

Имеется два (традиционного) десятичного представления для рационального числа $\alpha$. В соответствии с формулой из Фихтенгольца

$$C_0, c_1, c_2 \cdots c_n \leqslant \alpha \leqslant C_0, c_1, c_2 \cdots c_n+\frac {1}{10^n}, \eqno {(1a)}$$

при $\alpha =C_0, c_1, c_2 \cdots c_n+\frac {1}{10^n}$ это

$$\alpha=C_0, c_1, c_2 \cdots c_n (9), \eqno {(3)}$$

и тогда $\alpha$ приравнивается к правому концу промежутка, который мы рассматриваем.

При $ \alpha =C_0, c_1, c_2 \cdots c_n$ это

$$\alpha=C_0, c_1, c_2 \cdots c_n (0), \eqno {(4)}$$

и тогда $\alpha$ приравнивается к левому концу промежутка, который мы рассматриваем.

По-моему, второе представление можно назвать пародийным, потому что при нем берутся не правые крайние точки рассматриваемых промежутков, например, при $\alpha=0,125$ промежутков:

$$[0,125; \; 0,126-0,0009999 \ldots],$$

в то время как эти точки с каждой степенью дробления приближаются к точке $\alpha$ (то есть к $0,125$), а левая крайняя точка, то есть само $\alpha$, которая, естественно, все время остается на месте. Я пока что не понимаю, зачем вообще нужно это представление, хотя, как Вы написали,

Odysseus в сообщении #1499942 писал(а):

Любая последовательность из одинаковых чисел стремится же к пределу выражаемому этим числом.

Поскольку промежуток, в котором $\alpha$ совмещено с левым концом, можно для $\alpha=0,125$ представить как

$$[0,125; \; 0,126-0,0009999 \ldots]$$

(здесь число девяток, сколько бы их ни было, является конечным), то

$0,125<0,1251$

$0,125<0,12501$

$0,125<0,125001$

$0,125<0,1250001$

и так далее.

В соответствии с этим, десятичным выражением числа $0,125$ можно взять $0,125(0) 1$, это и будет

Odysseus в сообщении #1499788 писал(а):

обозначение для десятичного представления в котором в конце ... есть $1$ в последнем разряде, но он все время "убегает в бесконечность".

(У Вас сказано "как бы есть $1$ в последнем разряде", но я убрал "как бы", поскольку в последнем разряде $1$ не "как бы есть", а есть.

Таким образом,

$$0,124(9)=0,125=0,125(0)1,$$

то есть вместо $0,125(0)$ взять $0,125(0)1$, и мне кажется, что это лучше, потому что несет в себе идею нетривиального приближения правой крайней точки промежутка

$[0,125; \; 0,126-0,0009999 \ldots]$ к $0,125$.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
Еще раз, два базовых факта состоят в следующем:
1) Принятое/фиксированное соглашение состоит в том, что десятичное представление для $\alpha$ всегда выражается "предельной" десятичной записью левого конца промежутков в которых оно находится при последовательных разбиениях. Это не зависит от того, совпало ли $\alpha$ при очередном разбиении с одним из концов промежутков или нет.
2) Если $\alpha$ при очередном разбиении совпало с одним из концов одного из промежутков, а значит и с другим концом еще одного промежутка, то соглашение выше у нас сохраняется, но при этом у нас есть выбор какой из этих промежутков рассматривать и делить дальше, т.е. приравняли ли мы $\alpha$ левому концу одного промежутка или правому концу другого.

Мне кажется у вас путаница из-за того, что вы смешиваете фиксированное соглашение #1 с произвольным выбором в #2.

В конкретном случае числа $\frac{1}{8}$:
- Если в тот момент когда у нас появились $[0{,}124,0{,}125]$ и $[0{,}125,0{,}126]$ мы выбрали промежуток $[0{,}124,0{,}125]$ (т.е. приравняли $\frac{1}{8}$ правому концу промежутка) и продолжаем дальше с ним, то получим десятичное представление $\frac{1}{8}=0{,}124(9)$
- А если в тот момент когда у нас появились $[0{,}124,0{,}125]$ и $[0{,}125,0{,}126]$ мы выбрали промежуток $[0{,}125,0{,}126]$ (т.е. приравняли $\frac{1}{8}$ левому концу промежутка) и продолжаем дальше с ним, то получим десятичное представление $\frac{1}{8}=0{,}125(0)$. Последнее, естественно, сокращают до $0{,}125$, поскольку $(0)$ никакой дополнительной информации нам не дает.
- В обоих случаях десятичное представление для $\frac{1}{8}$ выражается "предельной" десятичной записью левого конца промежутков, в которых оно находится при разбиениях.

Vladimir Pliassov в сообщении #1500124 писал(а):

В соответствии с формулой из Фихтенгольца

$$C_0, c_1, c_2 \cdots c_n \leqslant \alpha \leqslant C_0, c_1, c_2 \cdots c_n+\frac {1}{10^n}, \eqno {(1a)}$$

при $\alpha =C_0, c_1, c_2 \cdots c_n+\frac {1}{10^n}$ это

$$\alpha=C_0, c_1, c_2 \cdots c_n (9), \eqno {(3)}$$

и тогда $\alpha$ приравнивается к правому концу промежутка, который мы рассматриваем.

В противоположном порядке! При таком выборе сначала $\alpha$ приравнивается правому концу промежутка, с которым оно совпало при очередном дроблении, а потом в итоге получаем $\alpha=C_0, c_1, c_2 \cdots c_n (9)$

Vladimir Pliassov в сообщении #1500124 писал(а):

При $ \alpha =C_0, c_1, c_2 \cdots c_n$ это

$$\alpha=C_0, c_1, c_2 \cdots c_n (0), \eqno {(4)}$$

и тогда $\alpha$ приравнивается к левому концу промежутка, который мы рассматриваем.

И здесь в противоположном порядке. При таком выборе сначала $\alpha$ приравнивается левому концу промежутка, с которым оно совпало при очередном дроблении, а потом в итоге получаем $\alpha=C_0, c_1, c_2 \cdots c_n (0)$ (что, естественно сокращаем до $\alpha=C_0, c_1, c_2 \cdots c_n$).

Vladimir Pliassov в сообщении #1500124 писал(а):

По-моему, второе представление можно назвать пародийным

Наоборот, второе представление как раз более удобное. Проще (и короче) оперировать же с $0{,}125$, чем с $0{,}124(9)$

Vladimir Pliassov в сообщении #1500124 писал(а):

потому что при нем берутся не правые крайние точки рассматриваемых промежутков, например, при $\alpha=0,125$ промежутков:

$$[0,125; \; 0,126-0,0009999 \ldots],$$

в то время как эти точки с каждой степенью дробления приближаются к точке $\alpha$ (то есть к $0,125$)

Я вам уже писал несколько раз, что $[0,125; \; 0,126-0,0009999 \ldots]$ это неправильная запись промежутка. Справа в таком случае должны быть не выражения типа $0{,}126-0{,}0009999$ (еще раз повторюсь, это разность двух чисел, а не десятичная дробь!), а сначала $0{,}1251$, потом $0{,}12501$ и т.д. Кроме того, в каждом конечном промежутке не может быть многоточия в конце. У него всегда фиксированные левый и правый конец, и их нужно конкретно указывать.

Т.е. вместо того, что вы написали нужно так корректно указывать промежутки разбиения: $[0{,}125, 0{,}1251]$, $[0{,}125, 0{,}12501]$ и т.д. Или $[0{,}1250, 0{,}1251]$, $[0{,}12500, 0{,}12501]$ если хочется более формально указывать десятичную запись левого конца промежутка.

Vladimir Pliassov в сообщении #1500124 писал(а):

а левая крайняя точка, то есть само $\alpha$, которая, естественно, все время остается на месте. Я пока что не понимаю, зачем вообще нужно это представление

А что же плохого если она остается на месте? А нужно, очевидно, потому, что $0{,}125$ это короче и удобнее в обращении, чем $0{,}124(9)$

Vladimir Pliassov в сообщении #1500124 писал(а):

В соответствии с этим, десятичным выражением числа $0,125$ можно взять $0,125(0) 1$, это и будет

Odysseus в сообщении #1499788 писал(а):

обозначение для десятичного представления в котором в конце ... есть $1$ в последнем разряде, но он все время "убегает в бесконечность".

(У Вас сказано "как бы есть $1$ в последнем разряде", но я убрал "как бы", поскольку в последнем разряде $1$ не "как бы есть", а есть.

А вот здесь вы уже перешли на альтернативный вариант к текущему соглашению #1 и приравниваете десятичное выражение числа к "предельной" десятичной записи правого конца промежутков в которых оно находится при последовательных разбиениях. Но как я и писал в примечании мелким шрифтом к http://dxdy.ru/post1499788.html#p1499788 им не пользуются, поскольку в тех случаях, когда при очередном разбиении мы приравниваем $\alpha$ левому концу промежутка, нет нормального обозначения для предельного десятичного представления правого конца при дальнейших разбиениях.

Писать это как $0{,}125(0)1$ будет неправильно, поскольку у бесконечной последовательности чисел не может быть "последнего числа", т.е. в данном случае не может быть последнего разряда. А также потому, что под обозначением периода $(a)$ в десятичных представлениях понимают бесконечную последовательность цифр $a$ (как, например, для десятичного представления $\frac{1}{3}=0{,}(3)$), а значит после периода $(0)$ уже не может быть чего-то еще.

Можно было бы придумать какое-то другое более корректное обозначение для альтернативного соглашения к #1, но зачем? Текущее соглашение #1 всех устраивает и не создает никаких проблем. Полезно знать, что могло бы быть и альтернативное соглашение, но это не означает, что нужно на него переходить.

Vladimir Pliassov в сообщении #1500124 писал(а):

Таким образом,

$$0,124(9)=0,125=0,125(0)1,$$

то есть вместо $0,125(0)$ взять $0,125(0)1$, и мне кажется, что это лучше, потому что несет в себе идею нетривиального приближения правой крайней точки промежутка

$[0,125; \; 0,126-0,0009999 \ldots]$ к $0,125$.

Идея приближения крайней точки отрезка и так известна из построения. Совершенно не обязательно переносить ее далее в десятичное представление числа. Разве из трех вариантов $0{,}125$, $0{,}124(9)$ и $0{,}125(0)1$ (даже не говоря о том, что последняя запись неккоректна как я выше писал) вам первый не кажется наиболее простым и удобным для дальнейшей работы?

Для сравнения, есть иррациональные числа $\pi$, $e$ и т.д. Мы же не пытаемся изобразить каждое из них длинной десятичной дробью с каким-то значком в конце, чтобы показать "идею нетривиального приближения". Мы и так знаем про эту идею, и просто используем для этих чисел наиболее короткие и экономные обозначения.