Представление веществ. числа бесконечной десятичной дробью.

[Vladimir Pliassov]

Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью.

Цитата:

$$C_0, c_1, c_2 \cdots c_n <\alpha < C_0, c_1, c_2 \cdots c_n+\frac {1}{10^n}. \eqno {(1)}$$

.......................................................................................................................................................................................
В исключенном случае, когда $\alpha$ само является целым числом или, вообще, конечной десятичной дробью ... можно последовательно определить число $C_0$ и цифры $ c_1, c_2 \cdots c_n \cdots $, исходя из более общих, чем (1), соотношений

$$C_0, c_1, c_2 \cdots c_n \leqslant \alpha \leqslant C_0, c_1, c_2 \cdots c_n+\frac {1}{10^n}. \eqno {(1a)}$$

Дело в том, что в некий момент число $\alpha$ совпадает с одним из концов промежутка, в который мы его заключаем -- с левым или с правым по нашему произволу; начиная с этого момента, соответственно, слева или справа в (1а) уже $\,\,\,\, $ п о с т о я н н о $\,\,\,\,$ будет иметь место равенство. (Фихтенгольц. http://ind.pskgu.ru/ebooks/f1/001.pdf , конец стр.22, начало стр.23)

(Оффтоп)

Чтоб ему его дети так объясняли!

Здесь, как я понимаю, имеется в виду не два конца одного и того же промежутка, а один и тот же конец для двух разных (соседних) промежутков, он левый для правого промежутка и правый для левого. $\alpha$ совмещается с этим концом.

Еще одна цитата.

Цитата:

вещественные числа $a, b$ различны тогда и только тогда, когда между ними можно вставить ещё одно вещественное число, не совпадающее с самими $a, b$. Но между $0,99\ldots$ и $1,00\ldots$ никакого третьего числа вставить нельзя. (Википедия)

Значит, $0,99\ldots$ и $1,00\ldots$ это одно и то же число.

[StaticZero]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499536 писал(а):

Здесь, как я понимаю, имеется в виду не два конца одного и того же промежутка, а один и тот же конец для двух разных (соседних) промежутков, он левый для правого промежутка и правый для левого. $\alpha$ совмещается с этим концом.

Щито?

Vladimir Pliassov в сообщении #1499536 писал(а):

Значит, $0,99\ldots$ и $1,00\ldots$ это одно и то же число.

Сколько нам открытий чудных...

[Vladimir Pliassov]

StaticZero в сообщении #1499537 писал(а):

Щито?

Когда $\alpha$ совмещается наконец с равным себе конечным десятичным числом, число это есть конец всех (уменьшающихся с каждым шагом в десять раз) промежутков, которые при дальнейшем дроблении будут находится слева от $\alpha$ (при отсчете слева направо), или начало промежутков, которые будут находится справа от $\alpha$ - это мы можем выбрать.

[Утундрий]

Дедекиндовоугодно.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499536 писал(а):

Здесь, как я понимаю, имеется в виду не два конца одного и того же промежутка, а один и тот же конец для двух разных (соседних) промежутков, он левый для правого промежутка и правый для левого. $\alpha$ совмещается с этим концом.

Вы неправильно понимаете.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499538 писал(а):

Когда $\alpha$ совмещается наконец с равным себе конечным десятичным числом, число это есть конец всех (уменьшающихся с каждым шагом в десять раз) промежутков, которые при дальнейшем дроблении будут находится слева от $\alpha$ (при отсчете слева направо), или начало промежутков, которые будут находится справа от $\alpha$ - это мы можем выбрать.

Уменьшаются не промежутки слева и справа от $\alpha$, а промежуток в котором находится $\alpha$.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1499548 писал(а):

Уменьшаются не промежутки слева и справа от $\alpha$, а промежуток в котором находится $\alpha$.

Да, это было некорректно, но вот что я имел в виду.

Дробление первоначального единичного промежутка, в котором находится $\alpha$, после выбора -ичности дробления (то есть десятичности, семиричности и пр. - не знаю, как сказать) совершается в соответствии с этой -ичностью.

Если $\alpha$ рациональное число и если выбранная -ичность не является взаимно простой со знаменателем дроби, которой выражено $\alpha$, то рано или поздно наступает момент, когда $\alpha$ совмещается с границей между некоторыми двумя промежутками, и при последующем дроблении остается совмещенным с этой границей.

Поскольку граница - по нашему произволу - может включаться в любой из этих промежутков (и при этом исключаться из второго промежутка), мы можем считать и $\alpha$ включенным в выбранный промежуток.

[Когда я говорил о промежутках слева и справа от $\alpha$, я имел в виду эти промежутки. Согласен, что мысль была выражена неудачно: нельзя сказать: "$\alpha$ находится между двумя промежутками," -- если оно включается в один из них. Это я не додумал.

Однако и у Фихтенгольца имеется подобная некорректность:

Цитата:

сечение $\,\,\,\,\,\,\,\,$ п р о и з в о д и т с я $\,\,\,\,\,\,\,\,$ рациональным числом $r$ (которое является $\,\,\,\,\,\,\,\,$ п о г р а н и ч н ы м $\,\,\,\,\,\,\,\,$ между классами $A$ и $A'$) (http://ind.pskgu.ru/ebooks/f1/001.pdf ,стр.19)

По-моему - во всяком случае, если говорится только о рациональных числах, - если быть вполне корректным, сказать: "м е ж д у $\,\,\,\,\,\,\,\,$ классами" можно только в контексте "между классами ничего нет", поскольку граница между классами включена в один из них.

Но имеются некорректные выражения (вроде "мнимые числа"), которые употребляются по соглашению, поскольку понятно, о чем идет речь.]

Таким образом, в отличие от иррационального $\alpha$, которое при дроблении в каждой данной степени может находиться только в каком-то одном промежутке, а не по нашему выбору в этом или в соседнем ( то есть $\alpha$ не находится на границе между промежутками), рациональное $\alpha$ -- после совмещения с границей между некоторыми двумя промежутками -- по нашему выбору может находиться либо в одном, либо в другом из них, и в дальнейшем совершается дробление того отрезка, в котором находится $\alpha$, а тот, в котором оно не находится, не дробится.

При этом, если мы полагаем, что $\alpha$ включено в правый промежуток, неравенство

$$C_0, c_1, c_2 \cdots c_n \leqslant \alpha \leqslant C_0, c_1, c_2 \cdots c_n+\frac {1}{10^n} \eqno {(1a)}$$

обращается в выражение

$$C_0, c_1, c_2 \cdots c_n = \alpha < C_0, c_1, c_2 \cdots c_n+\frac {1}{10^n}$$

(при этом правая часть неравенства строго больше левой).

Если же мы полагаем, что $\alpha$ включено в левый промежуток, неравенство

$$C_0, c_1, c_2 \cdots c_n \leqslant \alpha \leqslant C_0, c_1, c_2 \cdots c_n+\frac {1}{10^n} \eqno {(1a)}$$

обращается в выражение

$$C_0, c_1, c_2 \cdots c_n < \alpha = C_0, c_1, c_2 \cdots c_n+\frac {1}{10^n}$$

(при этом левая часть неравенства строго меньше правой).

Это соответствует тому, что и Вы говорите: уменьшается

Odysseus в сообщении #1499548 писал(а):

промежуток в котором находится $\alpha$.

2.

Odysseus в сообщении #1499548 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1499536 писал(а):

Здесь, как я понимаю, имеется в виду не два конца одного и того же промежутка, а один и тот же конец для двух разных (соседних) промежутков, он левый для правого промежутка и правый для левого. $\alpha$ совмещается с этим концом.

Вы неправильно понимаете.

Мне кажется, что все-таки правильно, потому что речь идет о следующем отрывке:

Цитата:

Дело в том, что в некий момент число $\alpha$ совпадает с одним из концов промежутка, в который мы его заключаем -- с левым или с правым по нашему произволу; начиная с этого момента, соответственно, слева или справа в (1а) уже $\,\,\,\, $ п о с т о я н н о $\,\,\,\,$ будет иметь место равенство. (Фихтенгольц. http://ind.pskgu.ru/ebooks/f1/001.pdf , конец стр.22, начало стр.23)

Во-первых, число $\alpha$ совпадает с одним из концов промежутка -- с левым или с правым -- не по нашему произволу, а в соответствии с разложением на простые множители -ичности дробления и знаменателя дроби, представляющей $\alpha$, а также от ее числителя, во-вторых, этот конец является границей между соседними промежутками, то есть это

Vladimir Pliassov в сообщении #1499536 писал(а):

один и тот же конец для двух разных (соседних) промежутков, он левый для правого промежутка и правый для левого.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
Я понял в чем ваша проблема, вы путаете понятия "нижнего/верхнего класса сечения" (т.е. бесконечного промежутка ограниченного сверху/снизу) и "конечного промежутка". Из-за этого у вас и возникают неверные представления типа

Vladimir Pliassov в сообщении #1499536 писал(а):

Здесь, как я понимаю, имеется в виду не два конца одного и того же промежутка, а один и тот же конец для двух разных (соседних) промежутков, он левый для правого промежутка и правый для левого. $\alpha$ совмещается с этим концом.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499688 писал(а):

Поскольку граница - по нашему произволу - может включаться в любой из этих промежутков (и при этом исключаться из второго промежутка), мы можем считать и $\alpha$ включенным в выбранный промежуток.

Такое может быть только с классами сечений, у которых есть только одна "конечная граница" (точная верхняя грань для нижнего класса и точная нижняя грань для верхнего), но не с конечным непустым промежутком внутри которого находится $\alpha$, который в данном случае рассматривается у Фихтенгольца.

При этом промежуток может включать один или оба своих конца. Почитайте, например, статью в Википедии Промежуток где приводятся разные примеры промежутков: конечные (незамкнутые и замкнутые с одного или обеих концов) и бесконечные (неограниченные и ограниченные с одного конца).

И чтобы данная конструкция из Фихтенгольца была понятнее, рассмотрите конкретный пример: число $0,125$, которое находится в промежутке $[0,1]$, делите этот промежуток и последующие промежутки внутри него в которые будет попадать $0,125$ последовательно на $10$ частей как описано у Фихтенгольца, и смотрите что будет получаться. А потом сделайте аналогично с рациональным числом, которое представляется бесконечной десятичной дробью, например $0,(3)$

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1499755 писал(а):

И чтобы данная конструкция из Фихтенгольца была понятнее, рассмотрите конкретный пример: число $0,125$, которое находится в промежутке $[0,1]$, делите этот промежуток и последующие промежутки внутри него в которые будет попадать $0,125$ последовательно на $10$ частей как описано у Фихтенгольца, и смотрите что будет получаться.

$0,1<0,125<0,1+0,1=0,2$

$0,12<0,125<0,12+0,01=0,13$

$0,125=0,125<0,125+0,001=0,126$

$0,1250=0,125<0,1250+0,0001=0,1251$

$0,12500=0,125<0,12500+0,00001=0,12501$

Получается что-то не то.

[Odysseus]

А почему не то? Равно то, что в Фихтенгольце и изложено.

Если вас смущает что нестрогое неравенство в данном случае вдруг перешло в равенство, то начинайте всегда с нестрого неравенства $\leq$ с обеих сторон. Это будет более универсальное представление, поскольку будет включать как случай когда $\alpha$ это целое число или конечная рациональное дробь, так и случай когда это бесконечная дробь типа $0,(3)$, про которую я вам писал. В первом случае нестрогое неравенство с одной стороны сразу или позже перейдет в равенство, а на другой стороне можно будет с этого времени писать все время строгое неравенство. Какой конец при этом выбрать это наше дело, можно же было написать и $0,124<0,125=0,124+0,001=0,125$

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1499782 писал(а):

А почему не то? Равно то, что в Фихтенгольце и изложено.

У него написано, что после совпадения должны приписываться все время нули (это, правда, есть) или девятки, а у меня в правой части не девятки.

$0,125$ (то есть число $\alpha$) у меня находится в правом промежутке?

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499786 писал(а):

У него написано, что после совпадения должны приписываться все время нули (это, правда, есть) или девятки, а у меня в правой части не девятки.

"Или" в данном случае означает, что реализуется один вариант, а не оба. Какой именно вариант реализуется зависит от нашего выбора. Оба совершенно равноправны.

Как принято считать для обоих вариантов, $\alpha$ представляется десятичной дробью, которая стоит слева, т.е. выражает левый конец соответствующего промежутка, даже когда $\alpha$ не равно этому концу для каждого из деления промежутка.* Если $\alpha$ это целое число или конечная десятичная дробь, и мы сразу или в последствии приравниваем ее к левому концу промежутка, как вы и сделали в случае $\alpha = 0,125$, то в ее десятичной записи с какого-то момента будут одни нули. А если мы решаем приравнять ее правому концу, как я привел выше для $0,124<0,125=0,124+0,001=0,125$, то в ее десятичной записи с какого-то момента будут одни девятки, поскольку они будут в десятичной записи левого конца.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499786 писал(а):

$0,125$ (то есть число $\alpha$) у меня находится в правом промежутке?

Промежуток только один, нет левых или правых. Есть только левый и правый концы промежутка, к одному из которых мы по своему выбору в какой-то момент приравниваем $\alpha$ если $\alpha$ это целое число или конечная десятичная дробь.

Вы выше расписали вариант, когда вы с определенного момента приравняли $\alpha = 0,125$ к левому концу промежутка. Теперь распишите то же самое, но когда вы приравняете $\alpha$ к правому концу и посмотрите что будет слева.

*Можно было бы выбрать десятичное представление $\alpha$ в виде правого конца промежутка, но тогда для целых и конечных десятичных дробей вместо альтернативного варианта с периодом $(9)$ в конце десятичного представления пришлось бы, для тех случаев когда в определенный момент я приравниваю $\alpha$ левому концу промежутка, придумать обозначение для десятичного представления в котором в конце как бы есть $1$ в последнем разряде, но он все время "убегает в бесконечность". Это сложнее обозначить и объяснить, поэтому таким способом не пользуются. Но фактически, именно это и происходит с текущим выбором десятичного представления $\alpha$ в виде левого конца промежутка. Там же тоже слева в последнем разряде для $\alpha$, если при очередном делении мы приравниваем $\alpha$ правому концу промежутка, как бы есть $1$ (если в периоде $(9)$ оставить только конечное число знаков), но этот $1$ все время убегает в бесконечность.

[Vladimir Pliassov]

Вы не станете отрицать, что

$$0,125\in [0,124\,\,\,\,\ , \,\,\,\,0,125]?$$

И что

$$0,125\in [0,125\,\,\,\,\ , \,\,\,\,0,126]?$$

И что $[0,124\,\,\,\,\ , \,\,\,\,0,125]$ и $[0,125\,\,\,\,\ , \,\,\,\,0,126]$ это соседние промежутки?

Тогда $0,125$ по нашему выбору может включаться как в один, так и в другой из двух соседних промежутков.

Мы здесь имеем дело не с одним промежутком, а с двумя.

[Vladimir Pliassov]

Левый промежуток можно представить как

$$[0,1249999\ldots; \; 0,125],$$

правый как

$$[0,125; \; 0,126-0,0009999 \ldots]$$

Если бы число девяток было бесконечно (если бы это было возможно), промежутки были бы точками. (?)

Но поскольку это невозможно, промежутки в таком виде представляют собой стремления к пределу $0,125$.

[Someone]

(Vladimir Pliassov)

Vladimir Pliassov в сообщении #1499833 писал(а):

$[0,124\,\,\,\,\ , \,\,\,\,0,125]$

Что-то Вы с этими запятыми мучаетесь… Рекомендую десятичную запятую окружать фигурными скобками («{,}»), тогда вокруг неё не будет отступов. Если отступ после запятой как знака препинания Вам кажется слишком маленьким, добавьте после неё тонкий пробел командой «\,». Мне кажется, что этого было бы достаточно. А то и вообще используйте точку с запятой в качестве разделителя чисел.

$[0{,}125,0{,}126]$
$[0{,}125,\,0{,}126]$
$[0{,}125;0{,}126]$

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!