Показать существование ситуации равновесия в чистых стратеги

[Juicer]

Шумная дуэль.

Даны вероятности попаданий двух игроков в момент времени $t$: $p_i(t), i = \{1, 2\}$. Функции выигрыша имеют следующий вид (матожидание выигрышей в обычной антагонистической игре):

$$ H_1(x, y)= \begin{cases} p_1(x)1 - 1(1 - p_1(x)) = 2p_1(x) - 1, \quad x < y\\ 1p_1(x)(1 - p_2(y)) - 1(1-p_1(x))p_2(y) = p_1(x) - p_2(y), \quad x = y \\ (-1)p_2(y) + 1(1 - p_2(y)) = 1 - 2p_2(y), \quad x > y. \end{cases} $$

Утверждается, что здесь существует ситуация равновесия в чистых стратегиях. Как это можно доказать и показать нахождение этой ситуации?

[Brukvalub]

Покажите, что минимаксная стратегия второго игрока и максиминная статегия первого игрока отвечают одинаковому значению аргумента.