Две разных стороны о.многообразия

[Nartu]

Когда-то здесь, на форуме, обсуждали вопрос: "можно ли налить воды в бутылку Клейна". Я, спустя много лет, поднял тему и хотел предложить возможное решение с ответом "да", но оказалось, что всё равно не прокатит.. А может, меня не совсем поняли..

Я вернулся к той идее в другом ключе:

А можно ли ввести "операцию" меж двух неориентируемых многообразий так, что бы в результате получилось ориентируемое?
Как-бы "склеить" их с противоположными ориентациями, зделав отдельными "сторонами" ориентируемого многообразия.

Сначала была идея наоборот - разложить ор.многообразие на 2 неориентируемых. На пример $S^2$.
Далее было понятно, что я получу подобие левой и правой ленты Мёбиуса. - Разных не получить, только 2 копии одного, но разных ориентаций.
Ну и интересно поигратся с этим, посмотреть, что получится таким "спаиванием" из разносторонних лент Мёбиуса? Моя интуиция отвечает, что это будет обычная 2-сторонняя лента.

[Nartu]

Немного больше подумал и понял, что я плохо задал вопрос.

По-сути, вопрос в возможности построить пространство(-а), где есть пары разных точек, таковых, что существует путь от первой ко второй, но не наоборот.

Можно ли создать "одностороннее препятствие"?

[Padawan]

Что есть "пространство"? Что есть "путь"?

[Nartu]

С пространством проблемы.. Не думаю, что топологическое подойдёт..
Я сомневаюсь, что непрерывный ориентированый(направленый) образ [$[0,1]\subset\mathbb{R}$ может не иметь варианта с обратным направлением..

Идея была в построении "препядствия" в обычном, скажем, $\mathbb{R}^3$, которое можно было бы пройти насквозь, но в обратную сторону - наткнутся на "стену"

Путь - (непрерывное?)отображение [$[0,1]$ в то, что я описывал выше.

[mihaild]

Nartu в сообщении #1498286 писал(а):

Путь - (непрерывное?)отображение [$[0,1]$ в то, что я описывал выше

Пусть $f(x)$ - путь $a \to b$, т.е. $f(0) = a$, $f(1) = b$. Тогда $g(t) = f(1 - t)$ - путь из $b$ в $a$. Вам как минимум нужно определение пути, по которому $f(t)$ может быть путем даже если $f(1 - t)$ - не путь.

[Nartu]

Да, вполне!

Думаю, что достаточно отсутствия непрерывности $f(1-t)$

[mihaild]

Nartu в сообщении #1498314 писал(а):

Думаю, что достаточно отсутствия непрерывности $f(1-t)$

Если $f(t)$ непрерывна, то $f(1 - t)$ непрерывна.

[Nartu]

Что может помочь мне построить такую функцию?

Существует ли топология с такой возможностью, или это можно на любой сделать?

[mihaild]

Какую "такую"? Непрерывность композиции непрерывных функций - очень фундаментальное свойство.

[Утундрий]

Nartu
Один человек как-то решил построить Дом со множеством Комнат, который лечит людей. Пусть, например, нет у человека руки. Так он заходит в Дом, ходит по Комнатам, выходит наружу и... у него уже есть рука!

[INGELRII]

Для начала: а что вообще означает выражение "налить воды внутрь некоторого топологического многообразия"?

Вот с точки зрения топологии, поверхности бутылки и литого шара без отверстий - это одно и то же двумерное многообразие. Однако в бутылку можно налить воды, а в литой шар без отверстий - нет.

[StaticZero]

INGELRII в сообщении #1498389 писал(а):

а что вообще означает выражение "налить воды внутрь некоторого топологического многообразия"?

Объемлющее пространство односвязно.

[arseniiv]

INGELRII в сообщении #1498389 писал(а):

Однако в бутылку можно налить воды, а в литой шар без отверстий - нет.

Предполагается-то наливать в виде множества, границей которого будет вложение нашего многообразия, а не как в бутылку относительно её поверхности. А то сравнение с бутылкой Клейна нечестное будет.

[Padawan]

INGELRII в сообщении #1498389 писал(а):

Для начала: а что вообще означает выражение "налить воды внутрь некоторого топологического многообразия"?

Предположу, что это значит, что многообразие является границей некоторой области, в которую вода и наливается. Но понятно, что неориентируемое многообразие не может быть границей области, так как область в $\mathbb R^n$ ориентирована, а граница (точнее край) ориентированного многобразия сама получает ориентацию.

В связи с этим у меня вопрос (надеюсь ТС не будет против): а как доказать, что в $\mathbb R^n$ нельзя вложить неориентируемое ${n-1}$ -мерное замкнутое (т.е. компактное без края) многообразие? В частности, почему бутылку Клейна нельзя вложить в $\mathbb R^3$?

Предположим, что бутылка Клейна (назовем её $F$) вложена в $\mathbb R^3$. Сколько компонент связности может быть у дополнения? Одна компонента точно есть -- содержащая бесконечность. Если две компоненты, значит ли это, что $F$ является границей каждой из них (в этом случае получим противоречие с неориентируемостью)?

Доказал, что $\mathbb R^3\setminus F$ имеет ровно одну компоненту связности (при наличии гипотетического вложения $F$ в $\mathbb R^3$). Вообще, если связное замкнутое $n-1$ мерное многообразие $M$ вложено в $\mathbb R^n$, то может быть два варианта:
1) если $M$ неориентируемо, то дополнение $M$ имеет одну компоненту связности,
2) если ориентируемо, то дополнение $M$ имеет ровно две компоненты связности, общей границе которых она является.
Строго длинно раписывать, но вроде все просто: к $M$ с двух сторон примыкает либо одна и та же область, либо разные, для третьей компоненты связности места не остаётся.
Остаётся доказать, что вариант 1) не возможен.

-- Чт дек 31, 2020 11:25:15 --

Padawan в сообщении #1498436 писал(а):

Строго длинно раписывать, но вроде все просто: к $M$ с двух сторон примыкает либо одна и та же область, либо разные, для третьей компоненты связности места не остаётся.

Так. Не понял, а в чем тогда сложность теоремы Жордана. Это же она и есть? А, понял, в теореме Жордана поверхность не гладкая.

P.S. Вот, нашел обсуждение этого вопроса https://math.stackexchange.com/questions/863960/orientation-of-hypersurface/. Доказано, что невозможно неориентируемую гиперповерхность вложить в $\mathbb R^n$ в виде замкнутого подмногообразия.

[Nartu]

Вот-вот, была идея найти область меньшей мерности внутри пространства бОльшей, где-бы неориентируемое многообразие могло ограничить воду.

Из обсуждения ясно, что добится эффекта в ориентируемом пространстве - невозможно.

А если вложить в неориентируемое?