Задача про милливеберметр (рамка в радиал. магнитном поле)

[ValfennayaVaflaya]

Здравствуйте, не получается решить данную задачу.



Милливеберметр представляет собой электромеханическую систему, в которой рамка,
содержащая $N$ витков площадью $S$ каждый,
находится в состоянии безразличного равновесия (т. е. не имеет возвратной пружины). Рамка находится в радиальном магнитном поле с
индукцией $B$ так, что магнитный поток, пронизывающий рамку, пропорционален углу поворота $\varphi$ (см. рис.). Момент инерции рамки относительно оси вращения $I$ . Рамка включена
последовательно с измерительной катушкой и резистором. Общая индуктивность всей цепи $L$. При резком изменении измеряемого поля
в цепи возникает ток. Определить, при каких значениях R движение
рамки не будет иметь колебательного характера.

Внешнее магнитное поле меняется $\rightarrow$ в катушке возникает $\mathscr{E}_k$ $\rightarrow$ в цепи течет ток $\rightarrow$ на рамку действуют силы Ампера $\rightarrow$ рамка вращается, меняется поток через нее $\rightarrow$ возникает $\mathscr{E}_p$

1) $I\ddot\varphi = M = BSNI_p$,
$M$ - момент сил, $I_p$ - ток в рамке

2) $I_pR = \mathscr{E}_k + \mathscr{E}_p$,
$\mathscr{E}_k$ - ЭДС индукции в пробной катушке при изменении внешнего магнитного поля,
$\mathscr{E}_p$ - ЭДС в рамке, при ее вращении в поле магнита,
$I_p$ - ток в цепи.

3) $\mathscr{E}_k = -\frac{d\text{Ф}_k}{dt}$
$\mathscr{E}_p = -\frac{d\text{Ф}_p}{dt} = C\dot{\varphi}$, $C = $ const

$\text{Ф}_k$ - поток через пробную катушку,
$\text{Ф}_p$ - поток через рамку.

4) $\mathscr{E} = \mathscr{E}_k + \mathscr{E}_p = -\frac{d\text{Ф}_\Sigma}{dt} = -L\dot{I_p}$

В итоге получается:

$ I_pR = -\frac{d\text{Ф}_k}{dt} + C\dot\varphi = -L\dot{I_p} $

$I\ddot\varphi = BSNI_p$

И не очень понятно, что с этим дальше делать...

Заранее спасибо!

[StaticZero]

ValfennayaVaflaya в сообщении #1497879 писал(а):

И не очень понятно, что с этим дальше делать...

Дифференциальное уравнение колебаний с затуханием решить.