Доказать сильную P выпуклость с параметром P.

[goolqwe]

Суть проста, доказать сильную P выпуклость функции.
Надо доказать неравенство, чтоб найти значение P :
$ \left( f''\left( x\right) h,h\right) \geq p\left\| h\right\| ^{2}$
Я опираясь на определение эквивалентной P выпуклости, пытался найти P. В итоге пришел к ограничению снизу, которое есть в самом определение.
Что не так?
Вот функция:
$\begin{array}{l}2x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+x_1^6+x_2+1 \\f^{\prime\prime}\left(x\right)h=\begin{pmatrix}4\ \ -2\\-2\ \ \ 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix}=2\left(2h_1-h_2;h_2-h_1\right)\end{array}$
После того, как мы нашли матрицу Гессе, и умножили на вектор h.
Скалярно умножим результат на h.
$\left(f^{\prime\prime}\left(x\right)h,h\right)=(2\begin{array}{l}\left(2h_1-h_2;h_2-h_1\right),\left(h_1,h_2\right)\end{array})=4h_1^2-4h_1h_2+2h_2^2 $
Наконец, проверим неравенство:
$\begin{aligned}-4h_{1}h_{2}\geq -2\left( h_{1}^{2}+h_{2}^{2}\right) \\ 4h_{1}^{2}-4h_{1}h_{2}+2h_{2}^{2}\geq 2h_{1}^{2}=2\left\| h\right\| ^{2}\end{aligned}$
По условию получаем, P>0 , то есть снова ограничена снизу, что это такое?

[vpb]

goolqwe в сообщении #1497803 писал(а):

что это такое?

А это путаница, вот что это такое ! Вам следует стараться выражать свои мысли более ясно.

И обратите внимание, что $2h_1^2\ne 2\|h\|^2$.

[goolqwe]

vpb в сообщении #1497821 писал(а):

goolqwe в сообщении #1497803 писал(а):

что это такое?

А это путаница, вот что это такое ! Вам следует стараться выражать свои мысли более ясно.

И обратите внимание, что $2h_1^2\ne 2\|h\|^2$.

Мне нужно доказать, что функция является сильно выпуклой и определить P.
Я пробовал много вариантов, чтоб оценить P, и пытался h-шки собрать в квадраты, и прибавлял, вычитал разные конструкции, они никак не сокращаются с нормой.
Вот итоговый вариант описал выше, но вы говорите , что там тоже есть ошибка.
Я теперь не вижу больше действий возможных, они же тогда не уходят никак и определить P невозможно получается. Как такое может быть?

[vpb]

goolqwe в сообщении #1497830 писал(а):

Я пробовал много вариантов, чтоб оценить P, и пытался h-шки собрать в квадраты, и прибавлял, вычитал разные конструкции, они никак не сокращаются с нормой.

Вы умеете решать задачи такого типа: найти наименьшее число $A$ такое, что всегда $7x^2+4xy+2y^2\geq A(x^2+y^2)$ ? Если не умеете, то сообщаю, что это делается с помощью приведения квадратичных форм к главным осям. Об этом можно прочитать в учебниках линейной алгебры или даже аналитической геометрии. Например, в учебнике Мальцев, Основы линейной алгебры.

[goolqwe]

vpb в сообщении #1497832 писал(а):

goolqwe в сообщении #1497830 писал(а):

Я пробовал много вариантов, чтоб оценить P, и пытался h-шки собрать в квадраты, и прибавлял, вычитал разные конструкции, они никак не сокращаются с нормой.

Вы умеете решать задачи такого типа: найти наименьшее число $A$ такое, что всегда $7x^2+4xy+2y^2\geq A(x^2+y^2)$ ? Если не умеете, то сообщаю, что это делается с помощью приведения квадратичных форм к главным осям. Об этом можно прочитать в учебниках линейной алгебры или даже аналитической геометрии. Например, в учебнике Мальцев, Основы линейной алгебры.

Я пробовал. Это не дает толку
ну можно вытянуть $\left|\left|h\right|\right|^2+h_1^2-2h_1h_2$ , ну одна норма сократиться, а остальную часть вы просто выбросить хотите? Так нельзя.

[vpb]

Вы путаете приведение квадратичной формы к сумме квадратов, т.е. к диагональному виду, и приведение к главным осям (также называемое одновременным приведением пары форм).

В качестве учебника могу добавить еще:
Кострикин, Введение в алгебру, т.2,
Гельфанд, Лекции по линейной алгебре.
Винберг, Курс алгебры


-- 26.12.2020, 15:15 --

Еще есть такая простенькая книжка (не знаю, какая у Вас специальность) Киркинский, Линейная алгебра и аналитическая геометрия. И еще есть такие Канатников, Крищенко, Линейная алгебра (из серии "Математика в техническом вузе").

-- 26.12.2020, 15:18 --

(Оффтоп)

А вообще, что это за такое, начинать учиться, когда уже зачетная сессия наступает ?! Вместо того, чтоб учиться в семестре ?

-- 26.12.2020, 15:20 --

Наконец, для полноты добавлю, что про $x_1^6$ забыли (но на ответ это не повлияет).

[goolqwe]

vpb в сообщении #1497835 писал(а):

Вы путаете приведение квадратичной формы к сумме квадратов, т.е. к диагональному виду, и приведение к главным осям (также называемое одновременным приведением пары форм).

В качестве учебника могу добавить еще:
Кострикин, Введение в алгебру, т.2,
Гельфанд, Лекции по линейной алгебре.
Винберг, Курс алгебры


-- 26.12.2020, 15:15 --

Еще есть такая простенькая книжка (не знаю, какая у Вас специальность) Киркинский, Линейная алгебра и аналитическая геометрия. И еще есть такие Канатников, Крищенко, Линейная алгебра (из серии "Математика в техническом вузе").

-- 26.12.2020, 15:18 --

(Оффтоп)

А вообще, что это за такое, начинать учиться, когда уже зачетная сессия наступает ?! Вместо того, чтоб учиться в семестре ?

-- 26.12.2020, 15:20 --

Наконец, для полноты добавлю, что про $x_1^6$ забыли (но на ответ это не повлияет).

Я не понимаю, что вы хотите.
Если вы тянетесь привести к квадратом все, пожалуйста:
$2\left( h_{2}-h_{1}\right) ^{2}-2h_{2}^{2}+4h_{1}^{2}\leq p\left( h_{1}^{2}+h_{2}\right) $
Чем это помогло? Да ничем.
Если хотите про книги просто поговорить еще такая, Ильин Позняк "Линейная алгебра".
Даже скажу, метод Лагранжа можете открыть, чтоб убедиться что это приведение квадратичной формы к главным осям.

[vpb]

Что ж, если мои литературные и прочие указания оказались для вас бесполезны --- значит, не судьба. Бывайте здоровы ...

[nnosipov]

goolqwe в сообщении #1497840 писал(а):

метод Лагранжа можете открыть, чтоб убедиться что это приведение квадратичной формы к главным осям

Метод Лагранжа совсем не то же самое, что приведение к главным осям.

[goolqwe]

nnosipov в сообщении #1497857 писал(а):

goolqwe в сообщении #1497840 писал(а):

метод Лагранжа можете открыть, чтоб убедиться что это приведение квадратичной формы к главным осям

Метод Лагранжа совсем не то же самое, что приведение к главным осям.

Хорошо, да. Я посмотрел. А вы видели, что он написал?
Там просто надо было сообразить, как преобразовать выражение. Я уже решил задачу.
Алгебра, 8 класс. Зачем лезть в какие-то дебри, когда есть элементарное решение в одну строку?

[nnosipov]

goolqwe в сообщении #1497861 писал(а):

Зачем лезть в какие-то дебри, когда есть элементарное решение в одну строку?

Затем, что подобная задача может быть и более чем 2-мерна.

И, кстати, вот эту-то задачу

vpb в сообщении #1497832 писал(а):

найти наименьшее число $A$ такое, что всегда $7x^2+4xy+2y^2\geq A(x^2+y^2)$

решить сумеете?

[goolqwe]

nnosipov в сообщении #1497864 писал(а):

goolqwe в сообщении #1497861 писал(а):

Зачем лезть в какие-то дебри, когда есть элементарное решение в одну строку?

Затем, что подобная задача может быть и более чем 2-мерна.

И, кстати, вот эту-то задачу

vpb в сообщении #1497832 писал(а):

найти наименьшее число $A$ такое, что всегда $7x^2+4xy+2y^2\geq A(x^2+y^2)$

решить сумеете?

Эту нет, я не знаю как ее решать.

[nnosipov]

goolqwe в сообщении #1497866 писал(а):

Эту нет, я не знаю как ее решать.

Рекомендую узнать. Просто потому, чтобы каждый раз не изобретать велосипед.

[Null]

vpb в сообщении #1497832 писал(а):

найти наименьшее число $A$ такое, что всегда $7x^2+4xy+2y^2\geq A(x^2+y^2)$

$-\infty$?

[nnosipov]

Имелось в виду, конечно, наибольшее $A$. Ну, или наименьшее значение понятно какого выражения. От опечаток никто не застрахован.