Геодезические на цилиндре

[apv]

Известно, что геодезические на цилиндре - винтовые линии. Как частный случай винтовых --- прямые. Но можно взять две точки так хитро, что между ними можно провести две винтовые (см. рисунок), одна из которых - прямая. Обе удовлетворяют дифуравнениям геодезических. Вопрос такой, можно их обе считать геодезическими, или все же ту, которая кратчайшая по расстоянию?

[Pphantom]

Ну, если вы найдете сколько-нибудь распространенное определение геодезической, которое этому противоречит...

[apv]

Обе. (ибо не противоречат определению)

Но червь неуверенности немножко грызет.


Определение геодезической как кратчайшей между двумя точками - это верное или неверное определение?

Кстати, даже подумал, что отрезок между $A$ и $B$ вообще не геодезическая, а лишь ее отрезок.

[Padawan]

apv в сообщении #1497773 писал(а):

Но можно взять две точки так хитро, что между ними можно провести две винтовые

Можно и не хитро. Через любые две точки на цилиндре можно провести бесконечно много геодезических. Все таки я считаю, что геодезическая - это локально кратчайшая. Вектор касательной вдоль нее переносится параллельно сам себе.

-- Пт дек 25, 2020 22:41:18 --

apv в сообщении #1497775 писал(а):

Кстати, даже подумал, что отрезок между $A$ и $B$ вообще не геодезическая, а лишь ее отрезок.

Ну это уже вообще буквоедство какое-то.

[Pphantom]

apv в сообщении #1497775 писал(а):

Определение геодезической как кратчайшей между двумя точками - это верное или неверное определение?

Это скорее заготовка определения, которую еще надо доводить до аккуратной формулировки (в частности, чтобы подобные вашему вопросы не возникали).

[apv]

Все вы не хотите прямо сказать...

Ладно. Как я уже понял, понятие геодезической - локальное понятие и точным определением есть такое "геодезическая - локально-минимизируемая кривая". Поэтому, обе, и винтовая и прямая, проходящая через указанные точки $A$ и $B$ есть геодезическими, ибо обе удовлетворяют уравнению определенного типа.

[Pphantom]

apv в сообщении #1497784 писал(а):

Все вы не хотите прямо сказать...

Ну не переписывать же сюда разные варианты, которые тривиально разыскиваются (хотя бы в Википедии).

[apv]

Да, Вы правы, в википедии есть

Цитата:

В метрических пространствах геодезическая определяется как локально кратчайшая с равномерной параметризацией (часто с натуральным параметром).

[svv]

В той же статье Википедии написано, что геодезические важны в общей теории относительности (ОТО). Но для ОТО определение геодезической как локально кратчайшей не подходит.
Например, среди множества изотропных (=светоподобных) кривых некоторые являются изотропными геодезическими. Но все изотропные кривые имеют нулевую длину (дуги между любыми двумя точками), и по этому признаку изотропные геодезические среди них никак не выделяются.

[Sicker]

svv
А не все светоподобные кривые являются геодезическими? Как тогда в противном случае вы их отличаете, по какому определению геодезической?

[Someone]

Sicker в сообщении #1497885 писал(а):

А не все светоподобные кривые являются геодезическими? Как тогда в противном случае вы их отличаете, по какому определению геодезической?

По переносу касательного вектора: касательный вектор геодезической при "параллельном" переносе по ней всегда остаётся касательным.

Образно говоря, геодезическая — это линия, которая никуда не сворачивает. То есть, самая "прямая" из всех.

[apv]

Someone в сообщении #1497897 писал(а):

Образно говоря, геодезическая — это линия, которая никуда не сворачивает. То есть, самая "прямая" из всех.

Красивое определение. На цилиндре таких "прямых из всех" через две заданные точки проходит бесконечно много. Для примера, построил три

[Sicker]

Someone в сообщении #1497897 писал(а):

По переносу касательного вектора: касательный вектор геодезической при "параллельном" переносе по ней всегда остаётся касательным.

А, т.е. если мы параллельно самому себе перенесем светоподобный (изотропный) вектор, то он может и не перейти в светоподобный? Т.е. фотон может приобрести массу или что? Или он исчезнет?...

-- 27.12.2020, 21:51 --

И да, я имел ввиду двухмерное многообразие В четырехмерном куча изотропных направлений (непрерывно изменяющихся)

-- 27.12.2020, 21:52 --

Someone в сообщении #1497897 писал(а):

То есть, самая "прямая" из всех.

Но ведь принцип нулевой первой вариации можно применить к изотропным кривым?

[Geen]

Sicker в сообщении #1498048 писал(а):

Но ведь принцип нулевой первой вариации можно применить к изотропным кривым?

можно, но не все изотропные будут геодезическими и в этом случае.

[Sicker]

Geen в сообщении #1498063 писал(а):

можно, но не все изотропные будут геодезическими и в этом случае.

А для изотропных кривых первая вариация всегда нулевая?
А в двухмерном случае все будут?