Задача по классической теории вероятности.

[andrei.papou]

Задача из "Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. - Сборник задач по теории вероятностей", номер 1.40 б).

В первом ряду кинотеатра, состоящем из $N$ кресел, сидит $n$ человек. Предполагая, что все воз­можные размещения этих $n$ человек в первом ряду равновероятны, найти вероятность того, что каждый из $n$ человек имеет ровно одного соседа.

Моё решение:

Очевидно, что если $n$ нечетно, то вероятность равна $0$. Найдем искомую вероятность для случая с четным $n$.

Общее число способов разместить $n$ различных человек на $N$ различных местах равно $A_{N}^{n}$. Подсчитаем, сколько из этих способов удовлетворяют условию задачи. Для этого закодируем любое размещение людей на местах как последовательность из $n$ различных символов $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ и $N - n$ нулей, где $x_{i}$ - i-й человек, а $0$ - обозначение свободного места. Зафиксируем некоторую перестановку $x_{1}, ..., x_{n}$, всего таких перестановок может быть $n!$. Сформируем из этих элементов $\frac{n}{2}$ пар, где в $k$ -ю пару отнесем элементы, стоящие на позициях $2k-1$ и $2k$ зафиксированной перестановки. Так как у любого элемента должен быть ровно 1 сосед, то между $\frac{n}{2}$ парами нужно расположить $\frac{n}{2}-1$ нулей. Теперь нам осталось распределить $N - 3\frac{n}{2} + 1$ нулей по $\frac{n}{2}+1$ промежуткам: $\frac{n}{2} - 1$ промежутка между парами $x_{2k-1}, x_{2k}$, место перед первой парой и место после последней пары. Это можно сделать $C_{N-n+1}^{\frac{n}{2}}$ способами. Отсюда имеем $n!C_{N-n+1}^{\frac{n}{2}}$ способов размещения, удовлетворяющих условию задачи. Отсюда вероятность искомого события: $\frac{n!C_{N-n+1}^{\frac{n}{2}}}{A_{N}^{n}}$. После элементарных преобразований получаем $\frac{C_{N-n+1}^{\frac{n}{2}}}{C_{N}^{n}}$.

Дело в том, что в книге приводится другой ответ: $\frac{C_{n}^{\frac{n}{2}}C_{N-n+2}^{\frac{n}{2}}}{C_{N}^{n}}$, который не получается привести к моему путем элементарных преобразований.

Помогите пожалуйста найти ошибку в моих рассуждениях. Заранее спасибо.

[mihaild]

Ответ из книги при $N = n = 2$ получается какой-то странный...

[DeBill]

andrei.papou
Я посмотрел в книжке (издания 2009г., задача 1.53б)): там ответ приводится через факториальные степени (что есть число размещений), и он не совпадает с тем, что указали Вы (хотя тоже неверный.)
Как я понимаю, в книжке - опечатка (в п. б) надо "+2" заменить на "+1"; это видно из логики составленных задач: п. а) "нет соседей" можно решать так: приделаем к каждому челу справа пустое место, и добавим в ряд справа "приставной стул" для потенциального пустого места; это дает число благоприятных исходов $A^n_{N-n+1}$. Теперь решение п.б) можно получить из п. а), объединяя соседей в пары).
Если в Вашем издании ответ формулировался также через числа размещений, то, помимо отмеченной опечатки, и Вы внесли свою лепту в тот приведенный Вами нехороший ответ.