Метод математической индукции

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1497053 писал(а):

У Соминского

Цитата:

$S_n=\frac {n}{n+1}$ при всяком натуральном $n$.

Ну да, я выше про это и писал. В одном месте у него про $n$ говорится "произвольное", в другом "всякое" (что то же самое), в третьем "некоторое". При желании еще можно сказать "некоторое произвольное". Если понимать о чем идет речь, то особой разницы между всем этим лично я не вижу.

-- 18.12.2020, 03:40 --

gris в сообщении #1497039 писал(а):

Ой, если уже было и осмеяно, тогда пардон. Короче, идея такая:
$S_n=S_n+\dfrac {1}{n+1}-\dfrac {1}{n+1}=S_{n-1}+\dfrac {1}{n(n+1)}+\dfrac {1}{n+1}-\dfrac {1}{n+1}=$
$=S_{n-1}+\dfrac {1}{n}-\dfrac {1}{n+1}=S_{n-2}+\dfrac {1}{n-1}-\dfrac {1}{n+1}=...=S_{1}+\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{n+1}=1-\dfrac {1}{n+1}=\dfrac {n}{n+1}
И там всё, как домино падает влево. И что-то индукционное даже проглядывает

Я немножко знаки перепутал и поправил.

Да, в http://dxdy.ru/post1496855.html#p1496855 и http://dxdy.ru/post1496865.html#p1496865 как раз про это и было.
Однако ИМХО:
- Не обязательно добавлять и вычитать $\dfrac {1}{n+1}$ Можно и так легко заметить, что $\dfrac {1}{n(n+1)}=\dfrac {1}{n}-\dfrac {1}{n+1}$ Ну т.е. это проще заметить сразу, чем догадаться что-то добавлять и вычитать.
- Проще записывать с начала, а не с конца.

Но может это дело вкуса.

[Vladimir Pliassov]

gris в сообщении #1497039 писал(а):

Короче, идея такая:
$S_n=S_n+\dfrac {1}{n+1}-\dfrac {1}{n+1}=S_{n-1}+\dfrac {1}{n(n+1)}+\dfrac {1}{n+1}-\dfrac {1}{n+1}=$
$=S_{n-1}+\dfrac {1}{n}-\dfrac {1}{n+1}=S_{n-2}+\dfrac {1}{n-1}-\dfrac {1}{n+1}=...=S_{1}+\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{n+1}=1-\dfrac {1}{n+1}=\dfrac {n}{n+1}
И там всё, как домино падает влево. И что-то индукционное даже проглядывает

gris ,

наконец-то я понял, что Вы делаете: после того, как в сумме

$$S_n=S_{n-1}+\dfrac {1}{n(n+1)}+\dfrac {1}{n+1}-\dfrac {1}{n+1}$$

Вы складываете $\dfrac {1}{n(n+1)}$ и $\dfrac {1}{n+1}$ и получаете $S_n=S_{n-1}+\dfrac {1}{n}-\dfrac {1}{n+1}$, в выражении

$$S_n=\frac {1}{1}-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+\cdots+\frac {1}{n-2}-\frac {1}{n-1}+\frac {1}{n-1}-\frac {1}{n}+\frac {1}{n}-\frac {1}{n+1},$$

где

$$\frac {1}{1}-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+\cdots+\frac {1}{n-2}-\frac {1}{n-1}+\frac {1}{n-1}-\frac {1}{n}=S_{n-1},$$

Вы сокращаете то, что стоит в скобках:

$$S_n=\frac {1}{1}-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+\cdots+\frac {1}{n-2}-\frac {1}{n-1}+\frac {1}{n-1}+(-\frac {1}{n}+\frac {1}{n})-\frac {1}{n+1},$$

получаете

$$S_n=\frac {1}{1}-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+\cdots+\frac {1}{n-2}-\frac {1}{n-1}+\frac {1}{n-1}-\frac {1}{n+1},$$

где

$$\frac {1}{1}-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+\cdots+\frac {1}{n-2}-\frac {1}{n-1}=S_{n-2},$$

сокращаете то, что стоит в скобках:

$$S_n=\frac {1}{1}-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+\cdots+\frac {1}{n-2}+(-\frac {1}{n-1}+\frac {1}{n-1})-\frac {1}{n+1},$$

и так далее и так добираетесь до начала, и во всяком случае тогда проглядывает индукционное:

$$S_1=\dfrac {1}{1}-\dfrac {1}{1+1}=\dfrac {1}{1}-\dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{2}$$

$-\,\,$ база индукции.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
Во всей этой цепочке слева всегда остается $S_n$, оно не превращается в конце в $S_1$. Меняется только правая часть, которая в итоге сокращается до $1-\dfrac {1}{n+1}=\dfrac {n}{n+1}$

А база индукции очевидна по определению $S_1=\dfrac {1}{1\cdot 2}$ Она не имеет отношения к этой цепочке и не требует для своего вычисления разложения $S_1=\dfrac {1}{1}-\dfrac {1}{2}$

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!

Да, вижу. Досадно, что не додумал.

[gris]

Vladimir Pliassov, я, конечно, без особой причины влез с примером, который вдруг вспомнил из школьных времён и то перепутал знаки . У меня есть свои соображения насчёт математической индукции, но я вспомнил! Вспомнил, откуда этот пример прискочил. Это из одной из книг Валерия Рыжика, известного петербургского учителя, методиста и проч., где он говорит об аксиоме и методе математической индукции в школе, и где он говорит именно о вашем равенстве и приводит пример именно со способом, который я и привёл. Так что я, возможно, не совсем корректно его представил. Последнее издание выходило года три назад, и я его читал и обдумывал, но не возьмусь всерьёз обсуждать. Но там он довольно подробно пишет на тему. Если надо, я могу найти конкретные цитаты, которые наверняка есть в интернете.

[Vladimir Pliassov]

gris в сообщении #1497183 писал(а):

Vladimir Pliassov, я, конечно, без особой причины влез с примером, который вдруг вспомнил из школьных времён и то перепутал знаки . У меня есть свои соображения насчёт математической индукции, но я вспомнил! Вспомнил, откуда этот пример прискочил. Это из одной из книг Валерия Рыжика, известного петербургского учителя, методиста и проч., где он говорит об аксиоме и методе математической индукции в школе, и где он говорит именно о вашем равенстве и приводит пример именно со способом, который я и привёл. Так что я, возможно, не совсем корректно его представил. Последнее издание выходило года три назад, и я его читал и обдумывал, но не возьмусь всерьёз обсуждать. Но там он довольно подробно пишет на тему. Если надо, я могу найти конкретные цитаты, которые наверняка есть в интернете.

gris, большое спасибо! Для меня это был очень интересный и полезный пример, вообще и, в частности, потому что в нем то, что может доказываться по индукции, доказывается по-другому. Еще я увидел, что в самом деле может быть польза от трюка, когда прибавляют и тут же отнимают.

Книги Валерия Рыжика буду искать.

А какие у Вас есть свои соображения насчёт математической индукции (если не секрет)?

[gris]

Vladimir Pliassov, вот книга:
В.И. Рыжик "Задача для учителя математики. 7—11 классы." — М.: ВАКО, 2017 г. — 400 с.
При индукцию и ваш пример в главе 12 "О понимании" стр. 240. Но это мелочь, конечно. Просто я вдруг вспомнил, увидев ваш пост. И решил добавить ложечку надеюсь не дёгтя в вашу бочку мёда.
Обычно на этом примере телескопически считают сумму соответствующего ряда.
Книжка методическая, для учителей, и в основном обсуждается, как среднего учителя обучить обучать математике среднего ученика. Так что там не ищите именно математической глубины. Я прочитал внимательно вашу тему и не понял, в чём там загвоздка. Для хорошего понимания не нужно сосредотачиваться на единственном учебнике, а тем более находить в нём разные неточности и двоякие толкования. Ну тут я не возьмусь рассуждать

[Vladimir Pliassov]

gris, спасибо!