внесение дивергенции под интеграл

[ShMaxG]

Подскажите пожалуйста:
В книжке Матвеева по физике написано:

\[ \operatorname{div} {\text{B}} = \frac{1} {c}\operatorname{div} \int\limits_V {\frac{{{\text{j}} \times {\text{r}}}} {{r^{\text{3}} }}} dV = \frac{1} {c}\int\limits_V {\operatorname{div} \frac{{{\text{j}} \times {\text{r}}}} {{r^{\text{3}} }}} dV \]

,

где операция div введена под знак интеграла на том основании, что пределы интегрирования (объем V) не зависят от переменных, по которым производится дифференцирование при вычислении div.

Вопрос: о каких переменных идет речь?

Добавлено спустя 22 секунды:

я так понимаю, что речь идет о переменных (x,y,z)

[Doctor_Den]

Операции взятия div и интегрирования являются линейными т.ч. их можно менять местами.

[ShMaxG]

всегда?

[Doctor_Den]

Ну конечно же есть оговорки ( а куда же без них). Например если под интегралом какая-нибудь экзотика ( ну скажем ф-я Дирака) то я бы не рекомендовал менять дивиргенцию и интеграл местами

[Munin]

Смотрите, интеграл - это по сути сумма. Если вы можете написать
$\mathop{\mathrm{div}}(\mathbf{Vec}_1+\mathbf{Vec}_2\ldots)=\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{Vec}_1+\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{Vec}_2\ldots$
и
$\mathop{\mathrm{div}}(\mathbf{Vec}\,dV)=(\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{Vec})dV,$
то вы можете поступить так с каждым слагаемым в интегральной сумме, и тем самым внести дивергенцию под интеграл. Но для этого нужно первое условие - о нём говорят аналогично соотношению для функций одной переменной как о независимости пределов интегрирования. И второе условие - чтобы дифференциал сам по себе был скаляром. Иначе дивергенция, которая применяется к вектору, превратится во что-то другое (для этого используют правила работы с оператором "набла" $\nabla$).

Первое условие аналогично вот чему: если интеграл по одной переменной берётся по фиксированным пределам, то

$$\frac{d}{dx}\int\limits_a^b\ldots=\int\limits_a^b\frac{d}{dx}\ldots,$$

а если по переменным, то

$$\frac{d}{dx}\int\limits_a^x\ldots\ne\int\limits_a^x\frac{d}{dx}\ldots$$

Добавлено спустя 26 минут 56 секунд:

А, тшьорт! Чё-то я засомневался! Там же под интегралом и в дивергенции разные пространственные переменные должны быть (потому что переменные под интегралом - немые, и снаружи интеграла не видны). Тогда по чему же берётся дивергенция после внесения?

Кажется, аккуратнее надо так. Надо ввести два радиус-вектора: $\mathbf{r}_1=(x_1,y_1,z_1)$ - по которому берётся дивергенция - это точка, в которой вычисляется поле $\mathbf{B}_1$; и $\mathbf{r}_2=(x_2,y_2,z_2)$ - по которому производится интегрирование - это точка, в которой находится элементарный ток - источник поля $\mathbf{j}\,dV_2.$ Тогда $\mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2$ и

$$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits_1\mathbf{B}=\frac{1}{c}\mathop{\mathrm{div}}\nolimits_1\int\limits_V\frac{\mathbf{j}\times\mathbf{r}}{r^3}}dV_2=\frac{1}{c}\mathop{\mathrm{div}}\nolimits_1\int\limits_V\frac{\mathbf{j}\times(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|^3}}dV_2$$

и теперь всё понятно: подынтегральная функция интегрируется по одному параметру, а дифференцируется по другому, так что интеграл и производная полностью перестановочны ($d/dx_1\int dx_2\ldots=\int dx_2\,d/dx_1\ldots$):

$$\frac{1}{c}\mathop{\mathrm{div}}\nolimits_1\int\limits_V\frac{\mathbf{j}\times(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|^3}}dV_2=\frac{1}{c}\int\limits_V\mathop{\mathrm{div}}\nolimits_1\frac{\mathbf{j}\times(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|^3}}dV_2.$$

[ShMaxG]

Цитата:

Надо ввести два радиус-вектора

Совершенно верно!
Именно так он и поступает в дальнейшем анализе. Спасибо, что подробно разъяснили