Смена порядка интегрирования в несобственном интеграле.

[inevitablee]

Всем привет. Есть волновое уравнение, рассмотренное здесь https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula, только с той поправкой, что $u(x,0) = 0, u_t(x,0)=\varphi(x)$. Задача состоит в том, чтобы решить его через преобразования Фурье и Лапласа(получить обычное уравнение колебаний через Фурье, решить его через преобразования Лапласа, а потом два раза вернуться обратно). Я задачу решил, получил верный ответ, но требуется обосновать смену порядка интегрирования, когда делается обратное преобразование Фурье, приводящее к итоговому ответу:
$ u(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d\lambda(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\varphi(\xi) e^{i\lambda\xi}sin(\lambda at) e^{-i \lambda x} }{\lambda a} d\xi)$ -> $\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} d\xi(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\varphi(\xi) e^{i\lambda\xi}sin(\lambda at) e^{-i \lambda x} }{\lambda a} d\lambda)$$ Про функцию $\varphi(x)$ известно только то, что она достаточно гладкая.
Знаю, что нужно доказать равномерную сходимость обоих интегралов по соответствующим параметрам, однако в силу произвольности функции не знаю, как это сделать.

[inevitablee]

Поправка: про $\varphi(x)$ известно, что она абсолютно интегрируема и кусочно-гладка на любом сегменте(условия для применения преобразования Фурье).