перестановки p с условием |{ p(k) - k : k=1..n }| = 2

[maxal]

Моя (в соавторстве с E.Deutsch) задачка из American Mathematical Monthly 114(3), 2007:

Problem 11281. Show that the number of permutations $\pi$ of $\{1, \dots, n\}$ such that $\pi(k) - k$ takes exactly two distinct values is equal to $\sigma(n) - \tau(n)$, where $\sigma(n)$ is the sum of the divisors of $n$ and $\tau(n)$ is the number of divisors.

Задача 11281. Докажите, что количество перестановок $\pi$ множества $\{1, \dots, n\}$ таких, что $\pi(k) - k$ принимает в точности два различных значения, равно $\sigma(n) - \tau(n)$, где $\sigma(n)$ - это сумма делителей $n$, а $\tau(n)$ - это число делителей.

[VAL]

maxal в сообщении #149449 писал(а):

Задача 11281. Докажите, что количество перестановок $\pi$ множества $\{1, \dots, n\}$ таких, что $\pi(k) - k$ принимает в точности два различных значения, равно $\sigma(n) - \tau(n)$, где $\sigma(n)$ - это сумма делителей $n$, а $\tau(n)$ - это число делителей.

Доказал!
По крайней мере, понял как оно так получается.

[maxal]

VAL, ну тогда попробуй обобщить результат на случай $|\{ \pi(k) - k \}|=3$.

[VAL]

maxal писал(а):

VAL, ну тогда попробуй обобщить результат на случай $|\{ \pi(k) - k \}|=3$.

Макс! Да ты телепат! Именно над этим я сейчас завис.