2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 внесение дивергенции под интеграл
Сообщение09.10.2008, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2752
Физтех
Подскажите пожалуйста:
В книжке Матвеева по физике написано:

\[
\operatorname{div} {\text{B}} = \frac{1}
{c}\operatorname{div} \int\limits_V {\frac{{{\text{j}} \times {\text{r}}}}
{{r^{\text{3}} }}} dV = \frac{1}
{c}\int\limits_V {\operatorname{div} \frac{{{\text{j}} \times {\text{r}}}}
{{r^{\text{3}} }}} dV
\],

где операция div введена под знак интеграла на том основании, что пределы интегрирования (объем V) не зависят от переменных, по которым производится дифференцирование при вычислении div.

Вопрос: о каких переменных идет речь?

Добавлено спустя 22 секунды:

я так понимаю, что речь идет о переменных (x,y,z)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2008, 20:31 


10/09/08
68
Операции взятия div и интегрирования являются линейными т.ч. их можно менять местами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2008, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2752
Физтех
всегда?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2008, 20:39 


10/09/08
68
Ну конечно же есть оговорки ( а куда же без них). Например если под интегралом какая-нибудь экзотика ( ну скажем ф-я Дирака) то я бы не рекомендовал менять дивиргенцию и интеграл местами :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2008, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Смотрите, интеграл - это по сути сумма. Если вы можете написать
$\mathop{\mathrm{div}}(\mathbf{Vec}_1+\mathbf{Vec}_2\ldots)=\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{Vec}_1+\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{Vec}_2\ldots$
и
$\mathop{\mathrm{div}}(\mathbf{Vec}\,dV)=(\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{Vec})dV,$
то вы можете поступить так с каждым слагаемым в интегральной сумме, и тем самым внести дивергенцию под интеграл. Но для этого нужно первое условие - о нём говорят аналогично соотношению для функций одной переменной как о независимости пределов интегрирования. И второе условие - чтобы дифференциал сам по себе был скаляром. Иначе дивергенция, которая применяется к вектору, превратится во что-то другое (для этого используют правила работы с оператором "набла" $\nabla$).

Первое условие аналогично вот чему: если интеграл по одной переменной берётся по фиксированным пределам, то
$$\frac{d}{dx}\int\limits_a^b\ldots=\int\limits_a^b\frac{d}{dx}\ldots,$$
а если по переменным, то
$$\frac{d}{dx}\int\limits_a^x\ldots\ne\int\limits_a^x\frac{d}{dx}\ldots$$

Добавлено спустя 26 минут 56 секунд:

А, тшьорт! Чё-то я засомневался! Там же под интегралом и в дивергенции разные пространственные переменные должны быть (потому что переменные под интегралом - немые, и снаружи интеграла не видны). Тогда по чему же берётся дивергенция после внесения?

Кажется, аккуратнее надо так. Надо ввести два радиус-вектора: $\mathbf{r}_1=(x_1,y_1,z_1)$ - по которому берётся дивергенция - это точка, в которой вычисляется поле $\mathbf{B}_1$; и $\mathbf{r}_2=(x_2,y_2,z_2)$ - по которому производится интегрирование - это точка, в которой находится элементарный ток - источник поля $\mathbf{j}\,dV_2.$ Тогда $\mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2$ и
$$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits_1\mathbf{B}=\frac{1}{c}\mathop{\mathrm{div}}\nolimits_1\int\limits_V\frac{\mathbf{j}\times\mathbf{r}}{r^3}}dV_2=\frac{1}{c}\mathop{\mathrm{div}}\nolimits_1\int\limits_V\frac{\mathbf{j}\times(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|^3}}dV_2$$
и теперь всё понятно: подынтегральная функция интегрируется по одному параметру, а дифференцируется по другому, так что интеграл и производная полностью перестановочны ($d/dx_1\int dx_2\ldots=\int dx_2\,d/dx_1\ldots$):
$$\frac{1}{c}\mathop{\mathrm{div}}\nolimits_1\int\limits_V\frac{\mathbf{j}\times(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|^3}}dV_2=\frac{1}{c}\int\limits_V\mathop{\mathrm{div}}\nolimits_1\frac{\mathbf{j}\times(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|^3}}dV_2.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2008, 21:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2752
Физтех
Цитата:
Надо ввести два радиус-вектора


Совершенно верно! :D
Именно так он и поступает в дальнейшем анализе. Спасибо, что подробно разъяснили :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Dmitriy40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group