Найти все ситуации равновесия

[Juicer]

Пытаюсь решить следующую задачу по теории игр: нужно обозначить все ситуации равновесия.
Как они определяются: жирная точка в многоугольнике - это начальное положение, допустим, денег каждого игрока, где значение координаты по оси Oy - деньги одного, а значение к-ты по оси Ох - деньги другого. Нужно показать все ситуации равновесия по Нэшу для двух игроков.
Я их указал и заштриховал карандашом - там на грани многоугольника не видно из-за вспышки, но она есть на наклонной грани.
Мне сказали, что я нашёл не все ситуации равновесия, но я не могу понять, где они могут быть ещё?
Вот картинка:

[Juicer]

Взгляните ещё раз, пожалуйста

[mihaild]

А стратегии-то какие?

[Juicer]

mihaild в сообщении #1495978 писал(а):

А стратегии-то какие?

Для первого игрока: координата по оси $x$, для второго $-$ по оси $y$

[mihaild]

Правая нижняя точка является точкой равновесия или нет? Почему?

[Juicer]

mihaild в сообщении #1495980 писал(а):

Правая нижняя точка

Вообще говоря является, потому что там ни один из игроков не сможет увеличить свой выигрыш изменяя только свою стратегию. Как и всё это наклонное ребро.

[mihaild]

А, пардон, я неправильно прочитал - правда же, что первый игрок контролирует абсциссу, а его выигрыш - ордината, а у второго наоборот?
Тогда может ли воообще хоть в какой-то точке один из игроков увеличить свой выигрыш, не трогая стратегию другого?

[EUgeneUS]

Я прочитал так, что для первого игрока абсцисса и "ход", и выигрыш. Соответственно, для второго игрока ордината и "ход", и выигрыш.

-- 11.12.2020, 12:39 --

Juicer в сообщении #1495982 писал(а):

Вообще говоря является, потому что там ни один из игроков не сможет увеличить свой выигрыш изменяя только свою стратегию.

А почему на рисунке она не отмечена?

Juicer в сообщении #1495982 писал(а):

Как и всё это наклонное ребро.

Нет, не всё. Впрочем, эта часть нарисована верно.

[Juicer]

mihaild в сообщении #1496014 писал(а):

правда же

Наверное, я вас запутал.
Каждый из игроков по сути хочет увеличить значение к-ты для своей оси. Всё, это и будет выигрыш.
Наверное, тут правильнее будет забыть про эту начальную точку внутри фигуры и просто искать ситуации, когда мы не можем сместиться уже вправо в фигуре, не сместившись наверх.

EUgeneUS в сообщении #1496020 писал(а):

Вы бы разместили точное условие

Я бы с удовольствием это сделал, да и не создавал бы пост этот вообще, наверное, но мне дали данную фигуру и на словах сказали.
Все попытки точно формализовать решение успеха не дали -

(Оффтоп)

матмех хуже всех

проблемы с преподавателем, который постоянно говорит "ну подумай ещё".

EUgeneUS в сообщении #1496020 писал(а):

правая нижняя точка входит в решение, но на рисунке она не указана

Виноват, не закрасил.

EUgeneUS в сообщении #1496020 писал(а):

Как и всё это наклонное ребро

Это я сказал, подумав, что меня пытаются навести на верное решение. Чуть попозже перерисую и покажу, что имел ввиду.

К сожалению, да, я интерполяцией условия занимаюсь, но что ещё делать - не знаю.

[EUgeneUS]

Juicer в сообщении #1496022 писал(а):

Наверное, тут правильнее будет забыть про эту начальную точку внутри фигуры и просто искать ситуации, когда мы не можем сместиться уже вправо в фигуре, не сместившись наверх.

Это верно. В определении равновесия по Нэшу нет ни слова про начальные условия.
При задании начальной точки и кто будет ходить первым в данном случае реализуется только один набор стратегий (одна точка) из множества равновесных по Нэшу.

[mihaild]

Juicer в сообщении #1496022 писал(а):

Каждый из игроков по сути хочет увеличить значение к-ты для своей оси. Всё, это и будет выигрыш.

Тогда что геометрически означает, что первый игрок не может увеличить свой выигрыш при неизменной стратегии второго игрока?

(Оффтоп)

Juicer в сообщении #1496022 писал(а):

проблемы с преподавателем, который постоянно говорит "ну подумай ещё".

Интересно, это у меня смещенная выборка или критерии другие? Ни разу в ВУЗе не сталкивался с тем, что условия странные и их не поясняют.

EUgeneUS в сообщении #1496026 писал(а):

При задании начальной точки и кто будет ходить первым

А что это значит? Игру ИМХО разумно определить как "каждый игрок выбирает координату и получает выигрыш, равный этой координате, если точка в многоугольнике, и минус бесконечность, если точка не в многоугольнике". В этой формализации нет никакой начальной точки или очередности ходов. Вы другую формализацию предлагаете?

[Juicer]

mihaild в сообщении #1496034 писал(а):

Тогда что геометрически означает, что первый игрок не может увеличить свой выигрыш при неизменной стратегии второго игрока?

То есть не может сместиться правее для большего выигрыша по оси $x$, не уходя при этом выше или ниже; или вверх для выигрыша по оси $y$, не уходя при этом левее или правее.

mihaild в сообщении #1496034 писал(а):

Интересно, это у меня смещенная выборка или критерии другие?

(Оффтоп)

Я могу многое рассказать про вуз, но просто понадеюсь, что вам с преподавателями повезло больше.

mihaild в сообщении #1496034 писал(а):

Игру ИМХО разумно определить как

Да, разумно

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1496034 писал(а):

Игру ИМХО разумно определить как "каждый игрок выбирает координату и получает выигрыш, равный этой координате, если точка в многоугольнике, и минус бесконечность, если точка не в многоугольнике". В этой формализации нет никакой начальной точки или очередности ходов. Вы другую формализацию предлагаете?

В Вашей формализации процедура совершения хода не до конца определена.
а) Игроки знают, решение принятое противником, или не знают?
б) Игроки могут менять своё решение или не могут?

ИМХО, проще представить такую процедуру: игрок в свой ход может изменить "свою" координату так, чтобы точка не "выпала" из многоугольника. Как только оба игрока не меняют "свою" координату, игра оканчивается.