Неравномерная сходимость рядов

[Ксюшка]

Есть задача: доказать, что ряд с общим членом $x(1-x)^n$ сходится неравномерно на отрезке [0;1]. Вопрос в том, чем пользоваться при доказательстве неравномерной сходимости? Критерием Коши? Если да, то чем оценить $|S_{n+p}-S_{n}|$? Или есть какой-то другой способ?

[Nikita.bsu]

Очевидно что $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } x(1 - x)^n = 0$, необходимо показать, что $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop {\sup }\limits_{x \in [0,1]} \left| {x(1 - x)^n } \right| \ne 0$

[ewert]

Вполне достаточно просто подсчитать сумму этого ряда и увидеть, что она разрывна на [0;1] (а должна бы быть непрерывной, коли б ряд сходился равномерно).

Добавлено спустя 9 минут 20 секунд:

Nikita.bsu писал(а):

Очевидно что $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } x(1 - x)^n = 0$, необходимо показать, что $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathop {\sup }\limits_{x \in [0,1]} \left| {x(1 - x)^n } \right| \ne 0$

не выйдет доказать

[Nikita.bsu]

Сумма равна


$S(x) = \left\{ \begin{gathered} 1 - x,x \ne 0 \hfill \\ 0,x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

[Ксюшка]

ewert писал(а):

Вполне достаточно просто подсчитать сумму этого ряда и увидеть, что она разрывна на [0;1] (а должна бы быть непрерывной, коли б ряд сходился равномерно).

Я правильно считаю, что сумма ряда =1 во внутренних точках отрезка, а в точках 0 и 1 она =0? Или что-то путаю? Просто вторая часть задания - доказать, что ряд сходится равномерно на [1/2;1], тогда получится, что он и там равномерно не сходится?

[PAV]

Nikita.bsu в сообщении #149566 писал(а):

Странно... а почему сумма разрывна, у меня получилось $1-x$

А при $x=0$? Неравномерность сидит именно в нуле.

[AD]

Nikita.bsu писал(а):

так что помоему он сходится равномерно или я чего-то не понимаю

Не понимаете одной очень важной вещи: если общий член ряда стремится к нулю - то еще не факт, что ряд сходится.

[ewert]

Ксюшка писал(а):

Я правильно считаю, что сумма ряда =1 во внутренних точках отрезка, а в точках 0 и 1 она =0? Или что-то путаю? Просто вторая часть задания - доказать, что ряд сходится равномерно на [1/2;1], тогда получится, что он и там равномерно не сходится?

нет, не получается. Дело в том, что в точке 1 сумма ряда всё-таки равна единице (из-за нулевого слагаемого).

А доказательство равномерности на правом полупромежутке очевидно -- ряд просто мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем 1/2.

[Ксюшка]

ewert писал(а):

А доказательство равномерности на правом полупромежутке очевидно -- ряд просто мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем 1/2.

да, спасибо, с доказательством равномерной сходимости проблем не было нашла свою ошибку, действительно в 1 сумма ряда =1, посчитала непосредственной подстановкой.

За помощь всем огромное спасибо!!!!

[antbez]

Я бы в подобном случае выписал остаток ряда и вычислил его предел (скажем, справа и слева при каком-то n)