Задача по ТВ

[artempalkin]

Тут есть несколько задач однотипных, например, такая:

Случайный вектор $(\xi,\eta)$ имеет плотность вероятности:

$f(x,y)=c\cdot e^{-5(x-1)^2+3(x-1)(y-2)-0,5(y-2)^2}$

Найдите константу $c$, плотность $f_1(x)$ и $P(3\xi>4\eta-5,34)$.

Задача по большому счету арифметическая: нужно сравнить коэффициенты в общем виде двумерного НР и найти, соответственно, $\sigma_1, \ \sigma_2, \ \rho,\ \mu_1, \ \mu_2$. Зная эти константы можно найти коэффициент, одномерное распределение...

Но вот с вычислением вероятности я что-то не совсем пойму. Ведь для этого нужно посчитать двойной интеграл достаточно нетривиальный, и я что-то не вижу способа проще. На фоне остальной арифметической задачи что-то очень сложно. Может, я не понимаю, как это сделать другим способом?

[Lia]

Или вспомнить о том, что линейное преобразование нормально распределенного случайного вектора тоже имеет нормальное распределение, и параметры его можно найти по информации о преобразовании и параметрах исходного распределения.

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1495729 писал(а):

Ведь для этого нужно посчитать двойной интеграл достаточно нетривиальный

А что в нем нетривиального? Квадратичная функция в экспоненте отрицательно определена, так что все в порядке со сходимостью. Делаем подходящую линейную замену и дальше понятно. А интеграл от $e^{-x^2}$ в теории вероятности не вычисляют, его значение просто считается известным (из курса матана, например).

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1495731 писал(а):

А что в нем нетривиального? Квадратичная функция в экспоненте отрицательно определена, так что все в порядке со сходимостью. Делаем подходящую линейную замену и дальше понятно. А интеграл от $e^{-x^2}$ в теории вероятности не вычисляют, его значение просто считается известным (из курса матана, например).

Я, знаете, преподаю матан и всякий там высшмат, так же, как и вы (но, конечно, до вашего уровня мне далеко, я все-таки не математик-профессионал) :) Я-то сам многое могу сделать, и интегралы посчитать разные тоже, но мне же нужно обучить кого-то что-то делать, причем в сжатые сроки. Нужно искать путь наименьшего сопротивления :) При этом желательно тот путь, которому этого кого-то учат в вузе, а не произвольный.

-- 08.12.2020, 13:55 --

Lia в сообщении #1495730 писал(а):

Или вспомнить о том, что линейное преобразование нормально распределенного случайного вектора тоже имеет нормальное распределение, и параметры его можно найти по информации о преобразовании и параметрах исходного распределения.

О, это интересный факт, который я, кажется, когда-то знал... по поводу соотношения матожиданий и дисперсий ясно, как считать, а раз распределение будет нормальным, то и дальше, наверное, понятно (наверное, там будет получаться типа 0,5, потому что иначе сложно представить).

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1495733 писал(а):

причем в сжатые сроки

Да, это проблема.

Но я не уверен, что правильно понял Ваш вопрос. Речь шла о том, как вычислить интеграл от $f(x,y)$ по всей плоскости? Я на этот вопрос пытался ответить. Если что, то я матан не преподаю и ТВ тоже :)

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1495734 писал(а):

Речь шла о том, как вычислить интеграл от $f(x,y)$ по всей плоскости?

Нет, по области типа $3x-4y>-5,34$. На фоне остальных "арифметических" задач (к которым ТВ имеет очень опосредованное отношение, честно говоря :) ) нахождение такого интеграла - задача прямо сильно нетривиальная :)

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1495738 писал(а):

Нет, по области типа $3x-4y>-5,34$.

О, тогда конечно. В таком случае, насколько понимаю, без спецфункций не обойтись.