Оценить сверху сумму

[abs135]

Добрый вечер!

Не подскажете, как поточнее оценить сверху сумму

$$\sum_{i=0}^{b}\binom{b}{i} \cdot (1+(1-2\varepsilon)^i)^a,$$

где

$0\leq b \leq a$,

$b,a \in N$,

$0<\varepsilon < 1/2$.

На ум пока приходит только очевидное $2^a \cdot \sum_{i=0}^{b}\binom{b}{i} = 2^a \cdot 2^b$, но точность такого приближения мягко говоря немного страдает :)

[mihiv]

Чуть получше: выделить в сумме слагаемое с $i=0$, а в остальных слагаемых заменить $1+(1-2\varepsilon )^i$ на $2(1-\varepsilon)$. Тогда получим:

$$S\leqslant 2^a+2^a(1-\varepsilon )^a(2^b-1)$$

.

[abs135]

Спасибо за ответ! Отделение первого слагаемого рассматривал, но хотелось бы более полно учесть высокую скорость убывания функции $f(i):=(1+(1-2\varepsilon)^i)^a$. Что-нибудь вроде неравенства Йенсена, которое в данном случае не применимо для получения верхней оценки ввиду того, что данная функция выпукла вниз...

[kotenok gav]

abs135 в сообщении #1495531 писал(а):

Что-нибудь вроде неравенства Йенсена, которое в данном случае не применимо для получения верхней оценки ввиду того, что данная функция выпукла вниз...

Так оно и для вогнутых работает, только знак меняется.

[abs135]

kotenok gav в сообщении #1495552 писал(а):

abs135 в сообщении #1495531 писал(а):

Что-нибудь вроде неравенства Йенсена, которое в данном случае не применимо для получения верхней оценки ввиду того, что данная функция выпукла вниз...

Так оно и для вогнутых работает, только знак меняется.

В данном случае функция выпукла вниз, поэтому неравенство Йенсена дает нижнюю оценку, мне же нужна верхняя.

Вы имеете в виду, что можно "выгнуть" ее в другую сторону, сделав замену переменной? Я пытался, но честно говоря, не преуспел. Если вам известна эффективная замена для данного случая, прошу, поделитесь, буду очень благодарен!