Определение последовательности

[Marmelad]

В Зориче дано следующее определение последовательности:
"Функция $f: \mathbb{N} \to X$ , областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью"
Почему образом множества $\mathbb{N}$ является само отображение, а не множество значений функции? В чем здесь логика?

[mihaild]

Marmelad в сообщении #1495598 писал(а):

Почему образом множества $\mathbb{N}$ является само отображение

Почему вы решили, что это так? Из процитированного вами фрагмента это не следует.

[Marmelad]

mihaild в сообщении #1495599 писал(а):

Почему образом множества $\mathbb{N}$ является само отображение Почему вы решили, что это так? Из процитированного вами фрагмента это не следует.

А разве это можно понять иначе? Скажите, в чем разница между 1 и 2:
1) Функция $f: \mathbb{N} \to X$ , областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью
2) Множество значений функции $f: \mathbb{N} \to X$ , областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью

[mihaild]

Marmelad в сообщении #1495601 писал(а):

Скажите, в чем разница между 1 и 2

В том, что это вообще разные определения. По второму любое не более чем счетное множество является последовательностью, а по первому последовательность - это функция.
Например по второму определению множество $\{0\}$ является последовательностью, а по первому - нет.
Правильное определение - первое. Во втором мы теряем важную информацию о порядке членов последовательности (а еще о том, встречается член последовательности один раз или много).

[Mikhail_K]

Marmelad

Как видите, Зорич в своей книге (и далеко не только он один) называет последовательностью не множество значений (не образ) функции, а саму эту функцию.

Это удобно, потому что при переходе от функции к её области значений теряется информация о том, какая точка имеет какой номер, а именно эта информация для нас важна, когда мы говорим о последовательности. Множество значений - это просто множество, а последовательность должна быть не просто множеством, а "пронумерованным множеством". Один из способов определить "пронумерованное множество" - отождествить его с функцией, осуществляющей это перенумерование.

Такой подход в математике везде и всюду. В какой-нибудь книге можно встретить утверждение типа "точкой на плоскости называется пара вещественных чисел $(x,y)$". Как же так, скажет кто-нибудь, ведь точка - это точка, а вовсе не пара чисел. Но так или иначе, это удобное определение - если мы зафиксировали систему координат на плоскости, то каждой точке взаимно однозначно соответствует пара чисел, и нет нужды различать эти два объекта, тем более что каких-то конфликтующих друг с другом свойств у них нет. А вот если система координат не зафиксирована, такое определение точки может быть неудобным, может использоваться какое-нибудь другое определение.

Так же и с последовательностью: Вы ведь согласны, что каждой последовательности взаимно однозначно соответствует функция $f:\,\mathbb{N}\to X$. Ну раз соответствует, то почему бы не считать, что последовательность - это и есть такая функция. Всё равно любое утверждение о последовательностях мы можем записать в терминах таких функций, и наоборот, так что нет нужды их различать. А каких-то "самых истинных определений" в математике нет, используются те, которые удобны.

[Marmelad]

Mikhail_K в сообщении #1495603 писал(а):

Marmelad

Как видите, Зорич в своей книге (и далеко не только он один) называет последовательностью не множество значений (не образ) функции, а саму эту функцию.

Это удобно, потому что при переходе от функции к её области значений теряется информация о том, какая точка имеет какой номер, а именно эта информация для нас важна, когда мы говорим о последовательности. Множество значений - это просто множество, а последовательность должна быть не просто множеством, а "пронумерованным множеством". Один из способов определить "пронумерованное множество" - отождествить его с функцией, осуществляющей это перенумерование.

Такой подход в математике везде и всюду. В какой-нибудь книге можно встретить утверждение типа "точкой на плоскости называется пара вещественных чисел $(x,y)$". Как же так, скажет кто-нибудь, ведь точка - это точка, а вовсе не пара чисел. Но так или иначе, это удобное определение - если мы зафиксировали систему координат на плоскости, то каждой точке взаимно однозначно соответствует пара чисел, и нет нужды различать эти два объекта, тем более что каких-то конфликтующих друг с другом свойств у них нет. А вот если система координат не зафиксирована, такое определение точки может быть неудобным, может использоваться какое-нибудь другое определение.

Так же и с последовательностью: Вы ведь согласны, что каждой последовательности взаимно однозначно соответствует функция $f:\,\mathbb{N}\to X$. Ну раз соответствует, то почему бы не считать, что последовательность - это и есть такая функция. Всё равно любое утверждение о последовательностях мы можем записать в терминах таких функций, и наоборот, так что нет нужды их различать. А каких-то "самых истинных определений" в математике нет, используются те, которые удобны.

Спасибо за разъяснение. Мне кажется, что нужно было всего-лишь вспомнить про слово "упорядоченное", и тогда бы не пришлось отождествлять множество значений функции с ней самой.