Определение одночлена

[vpb]

Mikhail_K в сообщении #1494839 писал(а):

$x^2+x^{-2}$ - не многочлен. Определение многочлена подразумевает целые степени при $x$

Целые неотрицательные только. А то ребенок запутается.

[Mikhail_K]

vpb
Да, спасибо. Исправил.

[prohodjawii]

Может сможете привести пример, где такое деление на многочлен и не многочлен удобно и полезно?

Просто ещё один вариант записи: $x^2+(1/x)^2$
Что мешает нам сказать, что $y=1/x$?
И переписать выражение, как $x^2+y^2$, где $y=1/x$ ?

[bot]

prohodjawii в сообщении #1494884 писал(а):

Что мешает нам сказать, что $y=1/x$?

В таком случае ничто не мешает видеть многочлен в левой части надписи В+М=Л.

И вообще, похоже, Brukvalub прав - это просто троллинг на пустом месте.
Имхо, топикстартера отправить читать книжки а тему закрыть.

[prohodjawii]

bot в сообщении #1494893 писал(а):

В таком случае ничто не мешает видеть многочлен в левой части надписи В+М=Л.

С моей точки зрения это гораздо больше похоже на троллинг.

Я не математик. Может мы действительно живём на разных планетах...

[Odysseus]

prohodjawii в сообщении #1494884 писал(а):

Может сможете привести пример, где такое деление на многочлен и не многочлен удобно и полезно?

Это вопрос примерно такого же плана как "Может сможете привести пример, где деление на целые числа и рациональные удобно и полезно?" И вообще, вы хотите понять или просто поспорить и что-то доказывать свое? Если хотите понять, то вы уже прилагали какие-то свои усилия? Например пробовали хотя бы погуглить что такое многочлены и для чего они используются? Про учебники я даже не говорю...

prohodjawii в сообщении #1494884 писал(а):

Просто ещё один вариант записи: $x^2+(1/x)^2$

Это не многочлен, а алгебраическое выражение в котором нет радикалов, поэтому оно называется рациональным выражением, и может быть приведено к виду рациональной функции.

prohodjawii в сообщении #1494884 писал(а):

Что мешает нам сказать, что $y=1/x$?
И переписать выражение, как $x^2+y^2$, где $y=1/x$ ?

То, что в этом случае $y$ не будет независимой переменной, что требуется от многочлена двух переменных согласно определению, т.е. вы будете рассматривать уже не рациональное выражение от одной переменной $x^2+(1/x)^2$, а многочлен от двух переменных $x^2+y^2$. Ради бога, рассматривайте, только к рациональному выражению от одной переменной это отношения иметь уже не будет.

А если вы хотите предложить свои определения и переназвать существующие понятия как-то иначе, то какой в этом смысл? Может вам и остальные определения в математике не нравятся? Какие-то там группы, кольца и т.д. - тоже все стоит назвать иначе? И может все-таки стоит сначала изучить то, что уже было построено и названо, и попытаться понять почему были введены такие понятия и разделения между ними (какие-то названия при этом могут не иметь особого сакрального смысла, как например "кольцо" или "поле"), а не начинать со своих личных определений?

[nnosipov]

Есть понятие многочлена Лорана (Laurent polynomial, см., например, википедию). Но это, конечно, не отменяет оценку настоящей темы, данную выше.

[prohodjawii]

to Odysseus

С чего Вы решили, что мне что-то не нравится? Или что я что-то хочу переназвать?

Просто я думал, что все выражения разделили условно на одночлены и многочлены (ну может и ещё что-то там). Оказывается - нет. Как я понял, какую-то часть выделили в одночлены, какую-то в многочлены, а остальным просто не повезло... Вот принцип этой делёжки мне не совсем понятен (речь не о понимании определений, а о том, почему границу провели именно так). Ну раз не можете объяснить - не надо. Будем считать это очередной аксиомой.

А по Вашим ссылкам вопросов только прибавляется.

-- 02.12.2020, 21:06 --

nnosipov в сообщении #1494913 писал(а):

Есть понятие многочлена Лорана (Laurent polynomial, см., например, википедию). Но это, конечно, не отменяет оценку настоящей темы, данную выше.

Я же говорю, что я не математик. Понять то, что написано в википедии - для меня проблема. Я этого языка не знаю. Из всего там написанного я понял только то, что приведённый выше пример подходит под ряд Лорана (его ещё называют многочлен Лорана). Но всё-равно спасибо за отсылку...

[Odysseus]

prohodjawii в сообщении #1494917 писал(а):

Просто я думал, что все выражения разделили условно на одночлены и многочлены (ну может и ещё что-то там). Оказывается - нет. Как я понял, какую-то часть выделили в одночлены, какую-то в многочлены, а остальным просто не повезло... Вот принцип этой делёжки мне не совсем понятен (речь не о понимании определений, а о том, почему границу провели именно так).

Это не совсем "разделение", а скорее уровни вложенности. Одночлены это частный случай многочленов, многочлены - частный случай рациональных функций, рациональные функции - частный случай алгебраических выражений. Или другими словами, множество одночленов это подмножество множества многочленов, множество многочленов - подмножества множества рациональных функций, а последнее - подмножество множества алгебраических выражений.

В эту цепочку можно добавить и многочлены Лорана, они будут между обычными многочленами и рациональными функциями. Но это не "обычные многочлены", а другое понятие, просто исторически у них сложилось такое название.

Свои уровни вложенности есть и у многих других множеств, структур и понятий в математике, например у множеств целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел. А еще в таких цепочках бывают "ответвления", например гауссовы числа.

Выделение частных случаев/подмножеств в математике оправдывается тем, что у них есть особые свойства, которых нет в более общих случаях. Вы понимаете, например, почему свои свойства есть у разных типов чисел?

prohodjawii в сообщении #1494917 писал(а):

Ну раз не можете объяснить - не надо. Будем считать это очередной аксиомой.

А по Вашим ссылкам вопросов только прибавляется.

Чтобы понять что-то, нужно прилагать для этого усилия, часто немалые. Пока, извините, у вас я не вижу даже минимальных усилий.

Я вам дал ссылки на википедию, чтобы вы прочитали хотя бы базовые определения и для чего/где используются многочлены. Но чтобы по-настоящему все понять - читайте учебники по алгебре. Например, у Винберга есть "Алгебра многочленов", но перед ней вам будут нужны пререквизиты в виде начальной теории чисел и теории колец.

prohodjawii в сообщении #1494917 писал(а):

Я же говорю, что я не математик. Понять то, что написано в википедии - для меня проблема. Я этого языка не знаю.

Вы просите объяснений каких-то понятий, но не понимание даже их определений. Вы считаете, что можно понять что-то не понимания даже его определения?

И снова извините, но зачем вам все это нужно?

[prohodjawii]

Odysseus в сообщении #1494926 писал(а):

Вы просите объяснений каких-то понятий, но не понимание даже их определений. Вы считаете, что можно понять что-то не понимания даже его определения?

И снова извините, но зачем вам все это нужно?

Определения я понимаю, но то, что написано ниже - нет. Просо для меня многие математические символы не понятны и как их читать я не знаю.

Зачем нужно? Странный вопрос. А зачем вообще живому существу с самого рождения познавать окружающий мир?

-- 02.12.2020, 23:01 --

Odysseus в сообщении #1494926 писал(а):

Выделение частных случаев/подмножеств в математике оправдывается тем, что у них есть особые свойства, которых нет в более общих случаях. Вы понимаете, например, почему свои свойства есть у разных типов чисел?

Да, это я понимаю.

[Odysseus]

prohodjawii в сообщении #1494942 писал(а):

Просо для меня многие математические символы не понятны и как их читать я не знаю.

А какие символы вам не понятны? Можете, кстати, сказать сколько вам лет и где вы учитесь или учились? Что вы достаточно уверенно знаете из математики (помните все определения, помните или можете самостоятельно восстановить все доказательства, можете объяснять другим, решать задачи)?

В целом, могу только повторить, что нужно читать учебники по алгебре. Имеется в виду алгебра, которую учат в вузах, а не (только) та, которую учат в школах. Но если у вас проблемы с базовыми математическими символами, то может нужно начинать/повторять со школьного уровня.

[Brukvalub]

prohodjawii в сообщении #1494942 писал(а):

Определения я понимаю, но то, что написано ниже - нет.

Раз определение понятно, то напишите его ниже. Тогда, следуя написанному определению, я мигом научу вас отличать многочлены от трамваев всего остального.

[arseniiv]

prohodjawii
Если мы хотим иметь возможность подставлять вместо переменных какие-то вещи, то многочлены отличаются от рациональных функций тем, что нам не придётся делить. Это даёт нам брать многочлены над любым полукольцом типа натуральных чисел $\mathbb N$ или например какой-нибудь булевой алгеброй, и превращать их в функции на том же множестве. Если мы возьмём рациональную дробь с коэффициентами из $\mathbb Z$, то функции $\mathbb Z\to\mathbb Z$ она уже не задаёт (если только не является многочленом).

Это одна из мноогих причин. Аналогию (точную) между многочленами $K[x]$ и рациональными дробями $K(x)$ с одной стороны и $\mathbb Z$ и $\mathbb Q$ с другой стороны уже тоже упомянули.

В математике, программировании и вообще инженерных областях есть необходимость упрощать конструкции, отбрасывая лишнее когда возможно. Потому даже после того как мы открыли комплексные числа, никуда не пропадает смысл выделять среди них вещественные, среди тех алгебраические, среди тех рациональные, среди тех целые и среди тех натуральные. Иногда полезно обобщать, иногда полезно отрезать. Как видите, можно, отбрасывая из рациональных дробей часть, остановиться на многочленах Лорана, а можно пойти дальше и остановиться на многочленах обычных. Можно однако пойти ещё дальше и остановиться на многочленах степени не выше какой-то фиксированной, например (где при умножении высшие степени неизвестных отбрасываются).

И вам трудно будет понять значимость того, почему рассматриваются понятия с такими-то определениями и таким-то наполнением (extension), а не другие, без погружения в математику и разбирательства во всех тех значках, которые вам сейчас недостаточно ясны. Оно идёт в комплекте или всё целиком, или ничего, более-менее. Представьте, что вы спрашиваете у кузнеца, зачем ему именно такой набор инструментов такой-то формы (и приёмов) — даже если он ну просто мастер, он вряд ли сможет составить у вас полноценное представление, не обучив попутно самому ремеслу. А с математикой всё только хуже.