Расширения и представления

[MChagall]

$G$ - конечная группа. Доказать, что найдётся такое конечное расширение $F/\mathbb{Q}$, что любое комплексное конечномерное представление $G$ имеет базис, в котором все матричные элементы принадлежат $F$.

Даже не знаю, какие мысли написать. По теореме Машке любое представление вполне приводимо, значит надо рассматривать неприводимые.
На лекции была теорема о нормальном базисе. О существовании элемента группы, характер которого нулевой. Порядок неприводимого комплексного представления делит порядок группы.
Но как быть здесь - не знаю. Может кто помочь?

[Slav-27]

Докажите, что если представление над $\overline{\mathbb Q}$ неприводимо, то неприводимо и над $\mathbb C$, и выведите из этого, что классы изоморфизма неприводимых представлений над $\overline{\mathbb Q}$ взаимно-однозначно соответствуют таковым над $\mathbb C$.

Подсказка: используйте соотношения ортогональности для характеров.

[MChagall]

Возникла вот такая идея. Пусть $V$ - неприводимое представление группы $G$. $\left\lvert G \right\rvert=n,dim V=m$.
$A_g$ - оператор, которым действует на $V$ элемент $g$ порядка $n_g\mid n$. Тогда $(A_g)^{n_g}=E$.
Собственные значения $A_g$ - корни степени $n_g$ из единицы. Тогда ЖНФ $A_g\in M_m(\overline{\mathbb{Q}})$$\forall g\in G$.
И мне нужно показать, что существует базис, в котором все $A_g$ примут ЖНФ. Это вообще верно? Если да, то как это можно сделать?

[vpb]

MChagall в сообщении #1494867 писал(а):

Это вообще верно?

Верно только для абелевых групп. А как сделать ... докажите, что если два оператора $A$ и $B$ коммутируют, то всякое (полное) собственное подпространство для $A$ инвариантно относительно $B$. (Правда, исходная задача у вас была про произвольные группы, а не только про абелевы).

[MChagall]

vpb в сообщении #1494873 писал(а):

Верно только для абелевых групп

Тогда не очень подходит. А нельзя эту идею (про собственные числа) как-то применить в общем случае? То есть привести одновременно все $A_g$ к какому-то нужному виду?

[vpb]

MChagall в сообщении #1494881 писал(а):

А нельзя эту идею (про собственные числа) как-то применить в общем случае?

Нет. Собственно говоря, Вам уже выше дали некое указание. А писать там более подробно --- это уже будет, с одной стороны, почти готовое решение; а с другой стороны, оно связано с нетривиальными идеями, которые сложноваты для вашего уровня.

Гм. Что бы Вам такого наводящего присоветовать ? Ну вот попробуйте, хотя вряд ли получится, найти какое-нибудь неприводимое представление группы $Z_3$ над ${\mathbb Q}$. И докажите его неприводимость.

[MChagall]

vpb в сообщении #1494888 писал(а):

Ну вот попробуйте, хотя вряд ли получится, найти какое-нибудь неприводимое представление группы $Z_3$ над ${\mathbb Q}$.

Ну кроме одномерных приходит на ум только двумерное.
$e\to \begin{pmatrix} -1& 1 \\ -1& 0 \\ \end{pmatrix}$
Т.е. поворот плоскости на $\frac{2\pi}{3}$
Неприводимое потому что при диагонализации выползут комплексные числа.

[vpb]

Да. Ну вот вы поняли, что представление над каким-то полем может быть неприводимым, а над бОльшим полем оказаться приводимым. Дальше надо посмотреть, как связаны между собой неприводимые представления над $\overline{\mathbb Q}$ (поле всех алгебраических чисел) и над ${\mathbb C}$. Хорошо бы это оказалось по существу одно и то же.

С этой целью, предлагается сейчас сформулировать соотношения ортогональности для характеров.

[MChagall]

vpb в сообщении #1494934 писал(а):

а над бОльшим полем оказаться приводимым.

Ну в нашем случае оба поля алгебраически замкнуты, поэтому представление, неприводимое над меньшим полем должно остаться неприводимым над большим, так как собственные числа лежат в меньшем поле. Поэтому ЖНФ для обоих полей одинаковы. Но это только интуитивное соображение.

vpb в сообщении #1494934 писал(а):

сейчас сформулировать соотношения ортогональности для характеров

Имеется скалярное произведение
$\left\langle\chi _V,\chi_W\right\rangle=\frac{1}{\left\lvert G\right\rvert}\sum\limits_{g\in G}^{}\chi_V(g)\overline{\chi_W(g)}$
$C$ - класс сопряженности
Тогда для неприводимых $V,W$
1. $\left\langle\chi _V,\chi_W\right\rangle=\begin{cases} 1,&\text{если $V\approx W$;}\\ 0,&\text{иначе;}\\ \end{cases}$
2.$\sum\limits_{V\in Irrep}^{}\chi_V(s)\chi_V(t)=\begin{cases} \frac{\left\lvert G\right\rvert}{\left\lvert C\right\rvert},&\text{если $s,t \in C$;}\\ 0,&\text{иначе;}\\ \end{cases}$

[Slav-27]

Хорошо, хватит 1-го соотношения. А почему вы не пишете, когда это верно? Это верно над любым алгебраически замкнутым полем характеристики $0$ (в доказательстве никакие специфические свойства $\mathbb C$ не используются, ни голоморфность, ни какой-нибудь функциональный анализ). UPD: чтобы было верно не только для подполей $\mathbb C$, надо, конечно, вместо $\overline{\chi_W(g)}$ написать $\chi_W(g^{-1})$.

Обратите внимание, что представление неприводимо $\Longleftrightarrow$ скалярный квадрат его характера равен $1$ (посчитайте скалярный квадрат характера произвольного представления $m_1V_1\oplus m_2V_2\oplus...\oplus m_kV_k$, где $V_i$ неприводимы). Выведите из этого, что неприводимо над $\overline{\mathbb Q} \Longrightarrow$ неприводимо над $\mathbb C$.

Чтобы понять, что других нет, докажите (или где-то найдите), что регулярное представление изоморфно прямой сумме всех неприводимых представлений, причём каждое неприводимое представление входит в сумму столько раз, какова его размерность.

А кстати, понятно ли, зачем мы это всё делаем, то есть что если мы докажем, что любое комплексное представление эквивалентно представлению над $\overline{\mathbb Q}$, то задача решена?

-- 04.12.2020, 15:38 --

MChagall в сообщении #1495238 писал(а):

Поэтому ЖНФ для обоих полей одинаковы.

ЖНФ будут даже диагональные, только что с того? Базис собственных векторов у разных операторов будет, вообще говоря, разный, а какая будет матрица перехода от одного к другому, совершенно неизвестно. Так можно решить только для абелевых групп (для которых можно выбрать общий базис собственных векторов).

[MChagall]

Slav-27 в сообщении #1495271 писал(а):

Выведите из этого, что неприводимо над $\overline{\mathbb Q} \Longrightarrow$ неприводимо над $\mathbb C$.

Так как $\overline{\mathbb Q}$ - алгебраически замкнуто, то скалярный квадрат характера равен единице. А при переходе к $\mathbb C$ характеры сохраняются, значит и над $\mathbb C$ квадрат равен единице, т.е. представление остаётся неприводимым.

Slav-27 в сообщении #1495271 писал(а):

регулярное представление изоморфно прямой сумме всех неприводимых представлений

Это было доказано на лекции. То есть над $\mathbb C$ новых неприводимых появиться не может ибо сумма квадратов размерностей неприводимых уже равна порядку группы.

Далее. Похоже, глупый вопрос. У нас есть биекция между неприводимыми представлениями группы $G$ над $\mathbb C$ и над $\overline{\mathbb Q}$. Есть какое-то представление $V$ (неприводимое) над $\mathbb C$. Матрицы этого представления могут содержать трансцендентные числа. Почему из биекции следует, что я матрицы этого представления могу привести к матрицам без трансцендентных элементов?

Slav-27 в сообщении #1495271 писал(а):

А кстати, понятно ли, зачем мы это всё делаем

Если все элементы матриц представлений принадлежат $\overline{\mathbb Q}$, то так как их конечное число, то мы можем добавить те, которые не лежат в $\mathbb{Q}$, и получить требуемое конечное расширение.

[Slav-27]

MChagall в сообщении #1495407 писал(а):

Далее. Похоже, глупый вопрос. У нас есть биекция между неприводимыми представлениями группы $G$ над $\mathbb C$ и над $\overline{\mathbb Q}$.

Не между неприводимыми представлениями, а между их классами изоморфизма! Всех неприводимых представлений $G$ так много, что это даже не множество. Если зафиксировать для каждого натурального числа конкретное комплексное векторное пространство соответствующей размерности -- например, $\mathbb C^n$ -- то всевозможные неприводимые представления на этих пространствах образуют множество, но всё равно это множество бесконечно. А вот классов изоморфизма конечное количество.

Всё остальное правильно.

-- 05.12.2020, 18:25 --

То есть, вы знаете, что любое представление на $\mathbb C^n$ изоморфно представлению на $\overline{\mathbb Q}^n\subset \mathbb C^n$; матрица этого изоморфизма -- искомая матрица перехода...