Асимптотика интеграла

[Khomie]

Добрый день!
Возникла проблема со следующей задачей:
Исследовать асимптотическое поведение интеграла $I(x)=\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}\exp(-x(t+\frac{1}{t}))dt$ при $x>>1$

Вот мое решение, которое было отвергнуто преподавателем под предлогом низкой точности:
Пусть $ \delta(x)=\frac{1}{x^2}$
$\exp(-p)\leqslant\frac{1}{1+p}, p>0$
Тогда
$\exp(-x(t+\frac{1}{t}))=\exp(-x(2-\delta))\exp(-x(t+\frac{1}{t}-2+\delta))\leqslant\frac{\exp(-x(2-\delta))}{1+x(t+\frac{1}{t}-2+\delta)}\leqslant$
$\leqslant\frac{\exp(-x(2-\delta))}{1+x\delta}=\left\lvert\delta(x)=\frac{1}{x^2}\right\rvert=\frac{\exp(-2x+\frac{1}{x})}{1+\frac{1}{x}}=\exp(-2x+\frac{1}{x})\sum\limits_{0}^{\infty}(-\frac{1}{x})^k=$
$=\exp(-2x)(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+...)(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}...)=\exp(-2x)(1+\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2}))$
Откуда имеем оценку для интеграла:
$I(x)\leqslant\exp(-2x)(1+\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2}))\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}dt=$
$=\ln(2+\sqrt{3})\exp(-2x)(1+\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})), x>>1$

При $x=10$, левая часть дает $1.56\cdot10^{-9}$, а правая часть $2.74\cdot10^{-9}$. При увеличении x в 10 раз, точность оценки уменьшается в десять раз, но при числах порядка $10^{-88}$ это не так важно, как мне кажется.

Доказать свою правоту преподавателю у меня не получилось, ему доказать мне, что я не прав - тоже)
Видимо, сработал синдром, когда ты решил одним способом и других больше не видишь, поэтому любые идеи и подсказки в каком направлении можно двигаться приветствуются.
Заранее благодарен.

[alisa-lebovski]

Погуглите метод Лапласа и метод перевала.

[Khomie]

alisa-lebovski в сообщении #1494772 писал(а):

Погуглите метод Лапласа и метод перевала.

Я как раз и не смог применить метод Лапласа из-за того, что функция $\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}$ не является непрерывной в точке максимума функции $\exp(-x(t+\frac{1}{t}))$

[alisa-lebovski]

А если сделать замену переменной, чтобы избавиться от этого? Например, $t=\ch y$.

[Khomie]

alisa-lebovski в сообщении #1494775 писал(а):

А если сделать замену переменной, чтобы избавиться от этого? Например, $t=\ch y$.

$I(x)=\left\lvert t=\ch y\right\rvert=\int\limits_{0}^{\operatorname{arch}(2) }\exp(-x(\ch{y}+\frac{1}{\ch{y}}))dy$
По принципу локализации получим, что для малого $\varepsilon>0$ верно, что
$I(x)\sim\int\limits_{0}^{\varepsilon}\exp(-x(2+\frac{y^4}{4}+o(y^4)))dy$, а вот дальше я сильно торможу.
Для малого $\varepsilon>0$ и фиксированного х верно,
$\exp(-x(\frac{y^4}{4}+o(y^4)))\sim(1-\frac{y^4}{4}+o(y^4))^x\sim 1-x\frac{y^4}{4}$
Так что я получаю, что
$I(x)\sim\exp(-2x)\cdot(\varepsilon+\frac{x \varepsilon^5}{20})$.
При определенном выборе $\varepsilon$ получается хорошее приближение, но есть ли возможность задать эпсилон в соответствии со значениями x?

[Padawan]

Khomie в сообщении #1494773 писал(а):

Я как раз и не смог применить метод Лапласа из-за того, что функция $\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}$ не является непрерывной в точке максимума функции $\exp(-x(t+\frac{1}{t}))$

А и не надо. Погуглите "лемма Ватсона", на которой основа метод Лапласа. В Зориче, Часть II, 1984 года на 609 странице.

[Khomie]

Padawan в сообщении #1494786 писал(а):

Khomie в сообщении #1494773 писал(а):

Я как раз и не смог применить метод Лапласа из-за того, что функция $\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}$ не является непрерывной в точке максимума функции $\exp(-x(t+\frac{1}{t}))$

А и не надо. Погуглите "лемма Ватсона", на которой основа метод Лапласа. В Зориче, Часть II, 1984 года на 609 странице.

Я приходил к подобному результату в виде $I(x)\sim\int\limits_{0}^{\varepsilon}\exp(-x(2+\frac{y^4}{4}+o(y^4)))dy\sim\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{4\cdot(\frac{x}{4})^{\frac{1}{4}}}\exp(-2x)$,
но вывод у меня был не очень строгий и меня смутило, что значения вообще не совпадают со значением интеграла.

[alisa-lebovski]

Посмотрите книжку - http://math.nw.ru/~pozharsky/3kypc/File ... uk_StD.pdf
глава 2, теорема 1.6, страница 45, вроде то что нужно.

[Padawan]

Со степенными рядами пошаманил в Maple, после замен $t=s+1$ и $\frac{s}{\sqrt{s+1}}=z$ Ваш интеграл превращается в

$$ I(x)=e^{-2x}\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits_0^{\frac 1{\sqrt 2}} \frac{1}{\sqrt{z}}\left(1-\frac 12 z+\frac 1{16} z^2+\frac{1}{32} z^3-\frac 3{512} z^4+O(z^5)\right) e^{-xz^2} dz $$

Дальше лемму Ватсона.

-- Вт дек 01, 2020 21:53:49 --

Khomie в сообщении #1494790 писал(а):

$I(x)\sim\int\limits_{0}^{\varepsilon}\exp(-x(2+\frac{y^4}{4}+o(y^4)))dy\sim\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{4\cdot(\frac{x}{4})^{\frac{1}{4}}}\exp(-2x)$,
но вывод у меня был не очень строгий и меня смутило, что значения вообще не совпадают со значением интеграла.

Главный член у меня с Вашим ответом совпадает.