Предел функции

[Ёж]

Задача. Вычислить предел $\lim\limits_{x\to 0}(2-e^{\sin x})^{\frac{1}{x}}$.
Решение. $\lim\limits_{x\to 0}(2-e^{\sin x})^{\frac{1}{x}}=(1^{\infty})=\lim\limits_{x\to 0}(1+(1-e^{\sin x}))^{\frac{1}{1-e^{\sin x}}\frac{-(e^{\sin x}-1)}{\sin x}\frac{\sin x}{x}}=e^{-1}$.

Можно ли считать правильным следующие решения?

$1. \lim\limits_{x\to 0}(2-e^{\sin x})^{\frac{1}{x}}=(1^{\infty})=\lim\limits_{x\to 0}(2-e^{\frac{\sin x}{x}x})^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}(1+(1-e^{x}))^{\frac{1}{1-e^{x}}\frac{-(e^{x}-1)}{x}}=e^{-1}$

$2. \lim\limits_{x\to 0}(2-e^{\sin x})^{\frac{1}{x}}=(1^{\infty})=\lim\limits_{x\to 0}(2-e^{\frac{\sin x}{x}x})^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}(1+(1-e^{x}))^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}(1-\frac{e^{x}-1}{x}x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}(1-x)^{\frac{1}{-x}(-1)}=e^{-1}$

$3. \lim\limits_{x\to 0}(2-e^{\sin x})^{\frac{1}{x}}=(1^{\infty})=\lim\limits_{x\to 0}(1+(1-e^{\sin x}))^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}(1+\frac{-(e^{\sin x}-1)}{\sin x}\sin x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}(1-\sin x)^{\frac{1}{-\sin x}\frac{-\sin x}{x}}=e^{-1}$

$4. \lim\limits_{x\to 0}(2-e^{\sin x})^{\frac{1}{x}}=(1^{\infty})=\lim\limits_{x\to 0}(1+(1-e^{\sin x}))^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}(1+\frac{-(e^{\sin x}-1)}{\sin x}\sin x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}(1-\sin x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}(1-\frac{\sin x}{x}x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}(1-x)^{\frac{1}{-x}(-1)}=e^{-1}$

[ewert]

Нет, нельзя. Нет такой теоремы -- о замене на эквивалентное внутри функции, тем более степени.

А вот как вполне можно: $\lim\limits_{x\to0}(2-e^{\sin x})^{\frac1x}=(*)$;

$$\ln(*)=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(2-e^{\sin x})}x=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+(1-e^{\sin x}))}x=\left[\begin{matrix}t=1-e^{\sin x}\to0 \\ \ln(1+t)\sim t\end{matrix}\right]=$$

$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-e^{\sin x}}x=\left[\begin{matrix}t=\sin x\to0 \\ e^t-1\sim t\end{matrix}\right]=\lim\limits_{x\to0}\frac{-\sin x}x=-1; \qquad (*)=e^{\ln(*)}=e^{-1}.$$

Это в определённом смысле даже честнее, чем канонический исходный вариант.

[Ёж]

Если правильно понял, то вместо этого решения

Ёж в сообщении #1494045 писал(а):

Решение. $\lim\limits_{x\to 0}(2-e^{\sin x})^{\frac{1}{x}}=(1^{\infty})=\lim\limits_{x\to 0}(1+(1-e^{\sin x}))^{\frac{1}{1-e^{\sin x}}\frac{-(e^{\sin x}-1)}{\sin x}\frac{\sin x}{x}}=e^{-1}$

лучше записать
$\lim\limits_{x\to 0}(2-e^{\sin x})^{\frac{1}{x}}=(1^{\infty})=\lim\limits_{x\to 0}e^{\ln(2-e^{\sin x})^{\frac{1}{x}}}= \lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{\ln(2-e^{\sin x})}{x}}= \lim\limits_{x\to 0}e^{\frac{\ln(1+(1-e^{\sin x}))}{1-e^{\sin x}}{\frac{-(e^{\sin x}-1)}{\sin x}\frac{\sin x}{x}}}=e^{-1}$

(если не учитывать эквивалентности)

[ewert]

Да, так можно. Но громоздко -- лучше предварительно прологарифмировать.

Что касается эквивалентностей, то это ровно то же самое, что и домножение с делением, только более компактно записывается. Важно лишь понимать, что не в любом месте эти (равносильные) трюки уместны.

[Ёж]

ewert в сообщении #1494144 писал(а):

Да, так можно. Но громоздко -- лучше предварительно прологарифмировать.

Что касается эквивалентностей, то это ровно то же самое, что и домножение с делением, только более компактно записывается. Важно лишь понимать, что не в любом месте эти (равносильные) трюки уместны.

Спасибо большое!

[Ёж]

Возник еще один вопрос:
если вычисляем предел последовательности, то решение
$\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac{1}{2n})^{3n+2}=\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac{1}{2n})^{2n\frac{3n+2}{2n}}=\lim\limits_{n\to \infty}e^{\frac{3n+2}{2n}}=e^{\frac{3}{2}}$
тоже неправильное?

[nnosipov]

Ёж в сообщении #1494650 писал(а):

решение
$\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac{1}{2n})^{3n+2}=\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac{1}{2n})^{2n\frac{3n+2}{2n}}=\lim\limits_{n\to \infty}e^{\frac{3n+2}{2n}}=e^{\frac{3}{2}}$
тоже неправильное?

Да нет, все нормально (если, например, сослаться на непрерывность функции $f(a,b)=a^b$ как функции двух переменных).

[ewert]

Ёж в сообщении #1494650 писал(а):

если вычисляем предел последовательности, то решение
$\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac{1}{2n})^{3n+2}=\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac{1}{2n})^{2n\frac{3n+2}{2n}}=\lim\limits_{n\to \infty}e^{\frac{3n+2}{2n}}=e^{\frac{3}{2}}$
тоже неправильное?

Формально -- неправильное, но неформально все ровно так и поступают. По бедности, за неимением пока что лучшего (если не считать логарифмирования).

nnosipov в сообщении #1494671 писал(а):

сослаться на непрерывность функции $f(a,b)=a^b$ как функции двух переменных

А вот нельзя пока ссылаться. Даже произносить эти слова нельзя -- не то что их непрерывность, но даже и сами "функции двух переменных" появятся гораздо позже.

Так что этот общепринятый приём ровно ни на чём не основывается, кроме интуиции. Ну что поделать. При изложении анализа (если оно не для махровых математиков) в самом начале без того или иного жульничества никак не обойтись.

[Ёж]

ewert в сообщении #1494678 писал(а):

Ёж в сообщении #1494650 писал(а):

если вычисляем предел последовательности, то решение
$\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac{1}{2n})^{3n+2}=\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac{1}{2n})^{2n\frac{3n+2}{2n}}=\lim\limits_{n\to \infty}e^{\frac{3n+2}{2n}}=e^{\frac{3}{2}}$
тоже неправильное?

Формально -- неправильное, но неформально все ровно так и поступают. По бедности, за неимением пока что лучшего (если не считать логарифмирования).

nnosipov в сообщении #1494671 писал(а):

сослаться на непрерывность функции $f(a,b)=a^b$ как функции двух переменных

А вот нельзя пока ссылаться. Даже произносить эти слова нельзя -- не то что их непрерывность, но даже и сами "функции двух переменных" появятся гораздо позже.

Так что этот общепринятый приём ровно ни на чём не основывается, кроме интуиции. Ну что поделать. При изложении анализа (если оно не для махровых математиков) в самом начале без того или иного жульничества никак не обойтись.

Спасибо большое!

[nnosipov]

ewert в сообщении #1494678 писал(а):

А вот нельзя пока ссылаться.

Это даже я (с практически нулевым опытом преподавания матана) понимаю. Но, как правильно было замечено:

ewert в сообщении #1494678 писал(а):

в самом начале без того или иного жульничества никак не обойтись

Так что чего уж там, мелочи жизни.

[vpb]

ewert в сообщении #1494678 писал(а):

При изложении анализа (если оно не для махровых математиков) в самом начале без того или иного жульничества никак не обойтись.

Не согласен. Мне тоже не доводилось преподавать основы матана, но жульничать не надо. В этом месте особенно. Ибо это подрывает нравственность. В крайнем случае оговорить, что такой-то факт имеет место, но мы его доказывать не будем. И эта ... функции двух переменных решительно не нужны. Достаточно логарифмирования (см, например, в Фихтенгольце пп. 77-79). (Это замечание , на всяк случ, для тех, кто сам этот предмет не преподает, а как оно в универе было, уже подзабыл.)

[nnosipov]

vpb в сообщении #1494720 писал(а):

В крайнем случае оговорить, что такой-то факт имеет место, но мы его доказывать не будем.

Дык, я это и имел в виду.

vpb в сообщении #1494720 писал(а):

Достаточно логарифмирования

Разумеется, как это можно забыть. Существует совершенно стандартная техника взятия пределов --- через начальные отрезки рядов Тейлора основных элементарных функций. Другое дело, что могут заставлять заниматься извращениями, т.е. обходиться какими-то искусственными приемами. Для студентов-технарей это точно излишняя роскошь.

[vpb]

nnosipov в сообщении #1494751 писал(а):

Разумеется, как это можно забыть.

Можно, Ватсон, всё можно. Скажем, я не сразу взял в толк, что тут делать. Такова человеческая природа --- ошибаться и забывать.

nnosipov в сообщении #1494751 писал(а):

могут заставлять заниматься извращениями, т.е. обходиться какими-то искусственными приемами.

И данная задача --- как раз (средне)тяжелый случай описанного явления.

[ewert]

nnosipov в сообщении #1494751 писал(а):

Существует совершенно стандартная техника взятия пределов --- через начальные отрезки рядов Тейлора основных элементарных функций. Другое дело, что могут заставлять заниматься извращениями

Да, это безусловное извращение -- использовать ряды Тейлора до того, как они появились. Технари, конечно, гениальны по натуре, не чета математикам, но даже и у технарей должно быть хотя бы минимальное представление о логике.

И, между прочим, сам термин "ряд Тейлора" в данном случае тоже извращение -- сбивает с толку.

[nnosipov]

ewert
Я это вообще не для Вас написал. Можете считать это извращением, мне начихать.