Принцип максимальной симметрии

[Touol]

Решил опубликовать на форуме провальную попытку обосновать принцип изложенный ниже. Вдруг по нему что-то сдвинется с мертвой точки. Прошу прощения за косноязычность

==Аннотация==
В статье приведена аргументация объясняющая принцип соответствия максимума симметрии максимуму энтропии. После получения этого принципа, он был обнаружен в книге В.С. Урсов "Симметрия-диссеметрия в эволюции Мира" без его вывода, как здесь ниже. Пространственым симметриям бесконечного порядка может соответствывать почти бесконечная энтропия и соответственно могут возникать сильные энтропийные силы соответствующие этим симметриям. Выдвинута идея соответвия этих сил фундаментальным силам электромагнитного, слабого и сильного взаимодействия. К сожалению, пока решение задачи вывода этих сил из Принципа максимальной симметрии выше моих возможностей. Надеюсь, что появятся какие-нибудь подсказки от более физико-математически сильных людей .

==Введение==
Основная задача, которой я занимаюсь - это проблема квантовых измерений. Для нее возникло предположение, что квантовые измерения просходят тогда, когда в системе возникает скачок энтропии. С тех пор, я пытаюсь как-то объеденить основы квантовой механики, термодинамики и теории относительности. Возникло несколько оригинальных интересных логических конструкций и небольших фактиков. Самый интересное из них - это принцип максимальной симметрии.

==Принцип максимальной симметрии==
Он аргументирован довольно просто. Для начало, что такое симметрии.


===Симметрии===

Возьмем например ур-ние Шредингера:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r} ,t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t)\right ] \Psi(\vec{r} ,t).$ (1)

Если потециал $V(\vec{r},t) = 0$, то ур-ние Шредингера инвариантно к сдвигам координат и времени.

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r} ,t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\right ] \Psi(\vec{r} ,t).$ (2)

Ур-ния Шредингера для коодинат $t_1 = t + C_1$, $\vec{r_1} = \vec{r} + \vec{C_2}$ имеют тот же вид:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t_1} \Psi(\vec{r_1} ,t_1) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \right ] \Psi(\vec{r_1} ,t_1).$ (3)

Так же ур-ние симметрично относительно обращения времени $t_1 = -t$, обращения координат $\vec{r_1} = -\vec{r}$, $x_1 = -x$,$y_1 = -y$,$z_1 = -z$ и вращений.

Но сдвиг координат, в отличии от обращения, это симметрия бесконечного порядка. В трехмерном пространстве можно сдвинуть по 3 координатам независимо и порядок симметрии сдвига координат $\infty^{3}$.

Если какое-то $\Psi(\vec{r} ,t)$ решение ур-ния (2), то и $\Psi(\vec{r_1} ,t_1)$ тоже какое-то другое решение этого ур-ния.

Расмотрим статсумму из статистики и термодинамика.

===Статсумма вырожденных уровней===

Статсумма определяется как:

$Z=\sum_j g_je^{-\frac{E_j}{k_BT} }$

где $g_j$ - степень вырождения уровня энергии. В квантовой механике, уровень энергии является вырожденным, если он соответствует двум или более различных измеримых состояний квантовой системы. Два или более различных состояния квантово-механической системы называются вырожденными, если они дают одно и то же значение энергии при измерении.

Сдвиги координат для ур-ния (2) дают множество состояний являющиееся решениями этого ур-ния. Не все из них линейно-независимы, но, например, в бесконечно широкой потенциальной яме (некоторое приближение свободных частиц), число линейно-независимых решений порождаемое сдвигом координат также бесконечно. Причем сдвиг координат для ур-ния (2) не меняет энергия состояния. Отсюда степень вырождения любого решения этого ур-ния бесконечна.

Вероятность $P_j$, с которой система находится в микросостоянии $j$, равна
$P_j=\frac{1}{Z}g_je^{-\frac{E_j}{k_BT}}.$

Допустим, что один из уровней статистической системы сильно вырожден $g_j \to \infty$. Тогда вероятность нахождения системы на этом уровне стремиться к 1. То есть, если система находилась не в этом вырожденном состоянии, то она быстро придет в него.

А вот тут провал в аргументации . Для ур-ния (2) все состояния, для всех состояний со всеми энергиями есть бесконечное число сдвигов. Для вероятности микросостояния бесконечные степени вырождения сократятся и вероятность микросостояний только от $e^{-\frac{E_j}{k_BT}}$ зависит.

В общем на этом пути Fatal error. $P_j$ зависит только энергии. А симметрия сдвигов может влиять только на объем, где можно найти частицу. Попробуем по другому.

===Общая аргументация===
Мне хотелось бы доказать, что кватовые системы стремяться к максимально симметричному состоянию. Или максимально симметричному состоянию квантовой системы соответствует максимальная энтропия системы.

Во первых, максимально симметричному состоянию соответствует максимальное кол-во решений ур-ния Шредингера. Если есть симметрия, то из одного решения ур-ния можно получить другое решение воздействуя на него оператором симметрии. Чем выше порядок симметрии, тем больше у симметрии операторов и тем больше решений можно получить. Соответственно у низкой симметрии меньше решений, чем у более высокой симметрии.

Во вторых, квадрат волновой функции определяет вероятность, что система окажется в состоянии определяемой этой функцией.

В третьих, если квантовая система может находиться в $m + n$ "микросостояниях" $\psi_m$, $\psi_n$ соответствующим различимым "макросостояниям" $\Psi_m$, $\Psi_n$, и если $n \gg m$, то квантовая система стремиться перейти в "макросостояние" $\Psi_n$. (это из-за того, что волновая функция определяет вероятность состояний и какое-то обобщенное понятие статсуммы.)

Соответственно так как у более симметричного состояния "микросостояний" больше, то система стремиться к наиболее симметричному состоянию.

Энтропия фон Неймана равна

$S = -\operatorname{tr}(\rho \ln(\rho))$

Так как "микросостояниях" $\psi_n$ много больше $\psi_m$, то для энтропии состояния $\Psi_n$ энтропия суммируется по большему числу состояний и, при прочих равных, много больше энтропии состояния $\Psi_m$. Соответственно у симметричного состояния выше энтропия. (Может энтропия и растет вместе с рангом матрици плотности, но надо изучать свойства матрици плотность. Просто больше членов суммы еще ничего не доказывает.)

К сожалению, аргументация довольно грубая, но пока более лучшую выдвинуть не получилось.

===Порядок и хаос===

Принцип максимальной симметрии можно назвать источником порядка. Симметричное состояние нами воспринимается как более упорядоченное. Например, кристаллы. Но этим симметричным состояниям соответствует более высокая энтропия. Максимально возможная симметрия - это когда вероятность найти частицу равномерно размазанна по пространству (симметрия сдвига порядка $\infty^3$). Но эта симметрия нами воспринимается как полный хаос. Найти носок, когда вероятность его найти размазанна по всей комнате, сложно .

==Фундаментальные взаимодействия==

Электромагнитное, слабое и сильное взаимодействие описывается группой калибровочной симметрии $SU(3)\times SU(2) \times U(1)$. На мой взгляд, недостатком этой теории является, то, что можно выдвинуть калибровочные взаимодействися с группой $SU(4)$, $SU(5)$ и т.д. Совершенно не понятно почему природа остановилась на $SU(3)$.

Пространственные группы безконечного порядка порождают бесконечное число решений ур-ния (2). При условиях, что этропия применима к условно одиночным(нескольким) частицам, и что пространственные группы безконечного порядка порождают энтропию "макросостояний" частиц, и что энтропия в этом случае приводит к большим силам действующим на частицы, фундаментальные силы могут оказаться следствием пространственных симметрий бесконечного порядка, число которых огранниченно.

Для 1 частицы симметрии бесконечного порядка - это сдвиги в 3-мерном пространстве и врашения.

Для 2 частиц доступны симметрии меньшего порядка. Если частицы фермионы, то положение второй частицы выколото из пространства доступных коодинат для первой. Доступные симметрии - это сдвиг центра масс и 2 центральные симметрии вращения каждой частицы вокруг центра масс.

Для 3 частиц - сдвиг центра масс и 3 осевые симметрии вращения каждой частицы вокруг противоположной стороны треугольника.

А 4 частицы расположенные не в 1 плоскости эже определяют базис 3-мерного простраства. Для них доступен сдвиг центра масс и вращения вокруг него целой фигуры.

К сожалению не спец в симметриях. Вообщем от 1 до 4 частиц происходит падение порядка доступной симметрии. Не учитывая сдвиг центра масс и вращения как целого, для 2 частиц 2 центральных вращения, для 3 - 3 осевых вращений, для 4 частиц( не в одной плоскости) бесконечных симметрий уже нет.

==Применимость энтропии==

Одиночных существующих самих по себе частиц нет. Чистое соостояние квантовой частицы это некоторая абстракция. Любая квантовая частица постоянно взаимодействует с другими частицами и макроскопическими телами.

Для описания измерения квантовой частицы (иногда) используется выражения вида:

$\Psi = \psi \Psi_D $

где $\psi$ волновая функция частицы, а $\Psi_D$ волновая функция детектора.

Детектор это макроскопическое тело, подчиняющееся законам термодинамики и которое можно рассмотреть как статистический ансамбль микроскопических состояний. Так как частица взаимодействует с детектором, то систему частица плюс детектор можно также рассматривать как статистический ансамбль. Наверно стоит рассматривать

$\Psi_n = \psi_n \Psi_{Dn} $

Микросостояние частицы плюс детектор. $\Psi_{Dn}$ микросостояние детектора. Причем число миросостояний детектора соответствующим измерению частицы $N$ и число микросостояний соответствующим к не измерению частицы $M$ макроскопически большие. (Детектор мерящий, например спин частицы, уже состаной детектор из детекторов поймал-не поймал.) Гипотетически для хорошего детектора $N \gg M$ и за счет этого детектор и может измерить частицу.

Наши квантовые детекторы только часть природных процессов приспособленных нами под квантовые измерения. Несомненно процессы соответствующие измерению состояния квантовой частицы идут повсюду. И систему из частицы и окружающей ее среды также можно рассматривать как статистический ансамбль микросостояний. Под "микросостоянием" частицы я подразумеваю микросостояние частицы и среды.

Эти рассуждения еще не доказывают применимость энтропии к отдельным квантовым частицам, но на мой взгляд делают это возможным.

==Энтропийные силы==

То что одно состояние имеет большую энтропию (вероятность) чем другое обычно еще не вызывает моментальный переход в него. В классических статистических системах переход в более статистически вероятное состояние может происходить с разной скоростью. Или даже система может завистнуть в состотоянии локального минимума энергии.

Если фундаментальные силы возникают из энтропии, то возникает вопрос почему энтропия влияет настолько быстро. Возможно, квантовые частицы сильно чем-то трясет. Например, чтобы сахар быстрее растворился в чае, чай перемешивают ложкой. Возможно, просто в классических системах локальные минимумы энергии сильно задерживают рост энтропия

-- Вт ноя 24, 2020 02:02:17 --

[url=https://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=167637]Урусов В.С.
Симметрия-диссимметрия в эволюции Мира[/url]

(Оффтоп)

а что с ссылкой? почему-то не отобразилась нормально

[Утундрий]

Вы не пробовали разбить свой ковёр из ошибочных рассуждений на какие-то блоки? Их тогда будет намного проще опровергать.

[Touol]

На какие блоки??? так то разбито на разделы. Просто здесь нету заголовков...
Основных блока 2:
1)
1.1) Чем выше порядок симметрии, тем больше состояний ВФ которой ей соответствует (Мне не известно точно ли это так, но это можно предположить, так как каждый оператор симметрии при воздействии на ВФ порождает новую ВФ. И чем больше порядок симметрии, тем больше операторов симметрии.).
1.2) Из статистики, чем больше микросостояний макросостояния системы, тем больше вероятность, что система окажется в этом макросостоянии. Если ВФ воспринимать как "микросостояния" системы то чем больше ВФ у симметрии тем больше вероятность, что система окажется в "макросостоянии" соответствующим симметрии.

2) С увеличением числа частиц в системе уменьшается число порядок доступных системе симметрий на 1 частицу, если они друг друга как-то чувствуют (например, фермионы не могут находиться в одном состоянии). На 3 частицах заканчиваются пространственные симметрии бесконечного порядка. Может фундаментальные взаимодействия образованны симметриями бесконечного порядка??? (едиственный плюс, что они ограниченны и нет кучи сил как SU4 и т.д.)

Второй пункт, конечно, чисто предположение. Я думал, что через статсумму получиться принцип максимума симметрии вывести. Но не получилось.