Давление в шинах

[Freeman-des]

Есть такая задача из Гельфгата:

Цитата:

Давление воздуха в шинах автомобиля 500 кПа при температуре 14°С. Во сколько раз уменьшится площадь соприкосновения колес с дорогой, если после поездки температура в шинах повысилась до 57 °С? Атмосферное давление 100 кПа. Изменением объема шины можно пренебречь.

При решении задачи автором задачника утверждается, что давление колес на землю равно разнице давления воздуха внутри колеса и атмосферного давления. Чем ниже давление внутри шины, тем больше будет площадь соприкосновения колес с землей, так как вес машины постоянен. Но вот опытный факт: у моей машины как-то спустило колесо до 1 атм, а площадь колеса при этом не стала равна бесконечности (разница давлений равна нулю, значит машина не давит на землю). Что не учитывается в упрощенной модели из задачи?

[Emergency]

Freeman-des в сообщении #1493560 писал(а):

у моей машины как-то спустило колесо до 1 атм, а площадь колеса при этом не стала равна бесконечности (разница давлений равна нулю

Разница давлений равна 1 атмосфере, так как автомобильные манометры измеряют именно разницу с атмосферным давлением.

Но условие задачи действительно далеко от реалий. Хорошие шины имеют жесткие боковины, которые частично компенсируют просадку шин при снижении давления в разумных пределах.
Автор же имел в виду шины из воздушного шарика. :)

[Freeman-des]

Цитата:

Разница давлений равна 1 атмосфере, так как автомобильные манометры измеряют именно разницу с атмосферным давлением.

Точно. Я не задумался об этом даже. Спасибо!

[EUgeneUS]

Emergency в сообщении #1493562 писал(а):

Автор же имел в виду шины из воздушного шарика. :)

Нет

Freeman-des в сообщении #1493560 писал(а):

Изменением объема шины можно пренебречь.

Это не "воздушный шарик".

[Emergency]

EUgeneUS в сообщении #1493565 писал(а):

Это не "воздушный шарик".

Но и не шины RunFlat.

[sergey zhukov]

Freeman-des
В этой задаче резина считается пленкой, в которой могут возникать только растягивающие напряжения, но не сжимающие (она легко сминается, но ее нельзя растянуть). Тогда сама резина никакую нагрузку не передает, а пятно контакта оказывается нагружено только равномерным избыточным давлением $P$ в колесе. Тогда площадь пятна $S$ будет равна $mg=4PS \to S=mg/4P$.

Пределы применимости формулы такие:

1. Резина реального колеса все же довольно заметно может работать и на сжатие, так что если машина достаточно легкая (очень легкая), а резина ее колес - жесткая и толстая, то такая машина может и на колесах с нулевым избыточным давлением ездить;

2. Предполагается, что обьем колеса не меняется при изменении формы колеса и давления воздуха. В этой задаче так проще определить зависимость $P=P(T)$, потому что можно взять обычный изохорный процесс. Вероятно, это приближение в данном случае очень хорошее.

А если забыть про температуру и измерять прямо давление в колесе, то площадь пятна контакта всегда будет равна $S=mg/4P$. Например, если у нас есть одна только оболочка любой формы из тонкой пленки (растяжимой или нет - не важно), то мы всегда сможем подсчитать площадь пятна ее контакта с землей по формуле $S=mg/P$, где $m$ - масса оболочки $+$ избыточная масса воздуха внутри оболочки $-$ масса оболочки в самом пятне контакта.

Тут, правда, затруднительно будет определить обьем оболочки (чтобы подсчитать, по сути, силу Архимеда), а так же вес оболочки в пятне (если оболочка будет растяжимой). Все можно упростисть, если на оболочку положить груз, в сравнении с весом которого весом оболочки и силой Архимеда, действующей на нее, можно пренебречь.

[Freeman-des]

sergey zhukov, отличный разбор! Большое спасибо.