Как осуществили переход к косинусу ?

[Asphy]

$$\sum_{r=0}^{\infty}A_re^{\pm i\lambda_r x}=\sum_{r=0}^{\infty}B_r\cos\left(\lambda_r x+\alpha_r\right) $$

[StaticZero]

Asphy, не похоже, что для вещественных $\alpha_r$ это возможно. При почленном приравнивании это ведёт к

$$ \begin{cases} B_r \cos \alpha_r = A_r, \\ -B_r \sin \alpha_r = i A_r \end{cases} $$

так что нужна дополнительная информация о происхождении символов.

[Евгений Машеров]

$e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$

[Asphy]

StaticZero
Все, что известно: лямбда больше нуля
Не могли бы Вы также пояснить, что означает такая запись:

$$e^{\pm i\lambda x}$$

Имеется в виду, как быть с двойным знаком? О формуле Эйлера знаю, но непонятно, как тут быть)

[StaticZero]

Asphy, а что смущает?

$$ e^{\pm ix} = \cos x \pm i \sin x $$

знак выбирается неким внешним соглашением (т. е. за пределами формулы) и описывается автором отдельно в тексте или ещё как нибудь, какой знак чему соответствует и т. д.

[Asphy]

StaticZero
Благодарю за разъяснение!

StaticZero в сообщении #1493319 писал(а):

знак выбирается неким внешним соглашением (т. е. за пределами формулы) и описывается автором отдельно в тексте или ещё как нибудь, какой знак чему соответствует и т. д.

Тогда правильно ли я понимаю, что в случае , если все-таки знак минус в показателе экспоненты, то в системе для коэффициентов, записанной Вами ранее, поменяется знак при Br(2-ое уравнение системы)?

[StaticZero]

Asphy, я полагаю что там в самом уравнении под косинусом пропущен соответствующий знак: $\cos (x \pm \phi)$, тогда не нужно в уравнениях ничего менять

-- 19.11.2020 в 21:09 --

(Оффтоп)

Asphy в сообщении #1493315 писал(а):

лямбда больше нуля

Признавайтесь, $\lambda_r$ это снаряды для Штурма Лиувилля, да?

[Asphy]

StaticZero в сообщении #1493322 писал(а):

Asphy, я полагаю что там в самом уравнении под косинусом пропущен соответствующий знак: $\cos (x \pm \phi)$, тогда не нужно в уравнениях ничего менять

Действительно)

(Оффтоп)

Asphy в сообщении #1493315 писал(а):

лямбда больше нуля

Признавайтесь, $\lambda_r$ это снаряды для Штурма Лиувилля, да?

Да вот, изучаю УРЧП , до задачи Штурма-Лиувилля пока не дошел :)

[StaticZero]

Asphy, мне кажутся странными такие трансформации, где нужен комплексный сдвиг фазы, смысл тогда брать косинус вместо экспоненты, которая легко дифференцируется. Там $\text{Re}$ нигде не забыто, точно?

[Asphy]

StaticZero в сообщении #1493330 писал(а):

Asphy, мне кажутся странными такие трансформации, где нужен комплексный сдвиг фазы, смысл тогда брать косинус вместо экспоненты, которая легко дифференцируется. Там $\text{Re}$ нигде не забыто, точно?

Нет, все в порядке. Просто вырвано из контекста. Вообще, условие задачи выглядит так: Найти решение уравнения $\Delta z=e^{-x}\cos\left(y\right)$ , стремящееся к 0 при $x\to\infty$ и равное cos(y) при х = 0.
Необходимость перехода к косинусу от экспоненты связана в данном случае с последним условием задачи.

[VPro]

Asphy в сообщении #1493298 писал(а):

$$\sum_{r=0}^{\infty}A_re^{\pm i\lambda_r x}=\sum_{r=0}^{\infty}B_r\cos\left(\lambda_r x+\alpha_r\right) $$

Здесь неаккуратная запись. Имеется ввиду:

$$\sum_{r=0}^{\infty}A_re^{\pm i\lambda_r x}=\sum_{r=0}^{\infty}A_re^{i\lambda_r x}+\sum_{r=0}^{\infty}A_re^{-i\lambda_r x}$$

[StaticZero]

Аааааа, вот оно что...

[Евгений Машеров]

Asphy в сообщении #1493315 писал(а):

Не могли бы Вы также пояснить, что означает такая запись:

$$e^{\pm i\lambda x}$$

Лично я понял, что берётся для каждого r по два члена, с плюсом и с минусом, так что косинусная составляющая (действительная) остаётся, а синусная (мнимая) взаимопогашается. Правда, тогда непонятно, зачем вводить $\alpha_r$, там фаза равна нулю будет.

[Asphy]

VPro в сообщении #1493342 писал(а):

Asphy в сообщении #1493298 писал(а):

$$\sum_{r=0}^{\infty}A_re^{\pm i\lambda_r x}=\sum_{r=0}^{\infty}B_r\cos\left(\lambda_r x+\alpha_r\right) $$

Здесь неаккуратная запись. Имеется ввиду:

$$\sum_{r=0}^{\infty}A_re^{\pm i\lambda_r x}=\sum_{r=0}^{\infty}A_re^{i\lambda_r x}+\sum_{r=0}^{\infty}A_re^{-i\lambda_r x}$$

Вынужден не согласиться, поскольку в таком случае нет необходимости в наличии $a_r$ в аргументе косинуса. Исходя из приведенного для данной задачи решения подходящей версией является версия, приведенная пользователем StaticZero

[Евгений Машеров]

А поделитесь ссылкой, откуда это...