доказать, что норма

[barmale-y]

Нашел у автора, что для f\in H(\alpha) (пространство равномерно непрерывных по Гёльдеру функций, для которых |f(t_1)-f(t_2)|\leq |t_1-t_2|^\alpha,\;0<\alpha\leq 1): \|f\|=\sup\frac{|f(t_1)-f(t_2)|}{|t_1-t_2|^\alpha} на [a,b]- полунорма, а \|f\|_\alpha=\sup|f(t)|+\sup\frac{|f(t_1)-f(t_2)|}{|t_1-t_2|^\alpha} на [a,b]- норма.

Помогите доказать. Непонятно почему \|f(t)\|=\sup|f(t)| не может служить нормой?

P.S. относится к этой теме http://dxdy.ru/topic16523.html

[Brukvalub]

barmale-y в сообщении #149195 писал(а):

Непонятно почему \|f(t)\|=\sup|f(t)| не может служить нормой?

А где написано, что эта величина не может служить нормой?

[barmale-y]

Мне бы это понять:

Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния писал(а):

Теорема 2.4. Пространство Гёльдера C^{0,\alpha} является банаховым пространством с нормой
\|\varphi\|_\alpha:=\sup|\varphi(x)|+\sup\frac{|\varphi(x)-\varphi(y)|}{|x-y|^\alpha}
Доказательство. Ясно, что
|\varphi_\alpha|:=\sup\frac{|\varphi(x)-\varphi(y)|}{|x-y|^\alpha}
определяет полунорму на C^{0,\alpha}. Тогда \|.\|_\alpha определяет норму ....

[Brukvalub]

Попробуйте доказать, что сумма нормы и полунормы будет нормой.

[barmale-y]

Brukvalub писал(а):

Попробуйте доказать, что сумма нормы и полунормы будет нормой.

Так ведь можно доказать противоположное
1. p(x)=0 при x=0
2. p(x+y) \leq p(x) + p(y)
3. p(\alpha x) = |\alpha| p(x)
Пусть p_1(x) - норма, т.е. имеет место 1-3,
p_2(x) - полунорма, причем p_2(x) \not= 0 при x=0 (см. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%BC%D0%B0 ), а выполняются 2-3.

Тогда
p(x)=p_1(x)+p_2(x) не обладает свойством 1, действительно p(0)=p_1(0)+p_2(0)=p_2(0)\not=0

[Brukvalub]

Ну как же можно ТАК самому себе противоречить?
Вы указываете ссылку, в которой доказывается, что для всякой полунормы р выполняется свойство р(0)=0, и тут же пишите:

barmale-y в сообщении #149302 писал(а):

p_2(x) - полунорма, причем p_2(x) \not= 0 при x=0

[barmale-y]

Brukvalub писал(а):

Ну как же можно ТАК самому себе противоречить?
Вы указываете ссылку, в которой доказывается, что для всякой полунормы р выполняется свойство р(0)=0, и тут же пишите:

barmale-y в сообщении #149302 писал(а):

p_2(x) - полунорма, причем p_2(x) \not= 0 при x=0

извиняюсь, недочитал ... действительно сумма нормы и полунормы есть норма!