Доказать, что функция является характеристической

[Khomie]

Добрый день!
У меня возникли некоторые трудности с такой задачей:
Доказать, что функция $\varphi(t)=1-\frac{\left\lvert t \right\rvert}{a}$, $\left\lvert t \right\rvert\leqslant a$, $\varphi(t)=\varphi(t+2a)$ является характеристической функцией распределения.

Я вполне понимаю алгоритм действий, когда нужно показать, что функция не является характеристической(проверить условия с моментами, непрерывность, равенство единице в нуле и т.д.), но вот с тем, чтобы показать, что какая-то функция является характеристической у меня как-то не задалось.

Раскладывал функцию в ряд Фурье по косинусам, но какого-то стоящего вывода из этого сделать не получилось.

Также пробовал сопоставить какую-нибудь плотность распределения данной характеристической функции с помощью обратного преобразования Фурье
$\rho(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp(itx)\varphi(t)dt$
, но столкнулся с проблемой, что данный интеграл расходится.

Знаю, что наверное самым лучшим приемом в данном вопросе должна была бы стать теорема Бохнера-Хинчина, но я, честно говоря, не совсем понимаю каким образом она применяется на практике.

Заранее спасибо за ответы!

[alisa-lebovski]

Тут нет плотности, потому что соответствующее распределение дискретное, с шагом $2a$.
В Фурье правильно раскладывали. Для простоты лучше положить $a=1$.

[Khomie]

alisa-lebovski в сообщении #1492667 писал(а):

Тут нет плотности, потому что соответствующее распределение дискретное, с шагом $2a$.
В Фурье правильно раскладывали. Для простоты лучше положить $a=1$.

Хорошо, в ряд Фурье я уже разложил, но я не могу понять, что мне это дает в вопросе обоснования того факта, что эта функция является характеристической? Извините, за некоторую заторможенность.

[FL91]

Khomie в сообщении #1492670 писал(а):

но я не могу понять, что мне это дает в вопросе обоснования того факта

Непрерывная периодическая функция является характеристической тогда и только тогда, когда её коэффициенты Фурье неотрицательны. Там кстати, автоматом вылазит и принадлежность последовательности коэффициентов $l_1(\mathbb{Z})$.

Можно кстати, было поступить и иначе, воспользоваться тем фактом, что периодизация финитной характеристической функции будет характеристическая функция. Ну нормировать конечно надо, если носители наезжают. Но это через... Т.к. в начале всё равно пришлось бы считать преобразования Фурье обрубка и показывать его неотрицательность.

-- 16.11.2020, 16:09 --

Khomie в сообщении #1492651 писал(а):

Знаю, что наверное самым лучшим приемом в данном вопросе должна была бы стать теорема Бохнера-Хинчина, но я, честно говоря, не совсем понимаю каким образом она применяется на практике.

Упс. Не прочитал этот абзац. Этой теоремой удобно пользоваться в двух случаях: 1) функция из $L_1$; 2) периодическая.
Точнее говоря используют её следствия. В первом случае непрерывная функция будет хар. функцией тогда и только тогда, когда её преобразование Фурье неотрицательно. Второе следствие я сформулировал выше.

Помимо Бохнера-Хинчина, можно ещё использовать достаточные условия Пойа: если функция чётная, выпукла на $(0,+\infty)$ и исчезает на бесконечности, то это характеристическая функция. Так, кстати можно доказать, что обрубок о котором я написал выше есть хар. функция. Впрочем тут может возникнуть замкнутый круг, т.к. известное мне доказательство теоремы Пойа используют характеристичность обрубка.

[Khomie]

FL91 в сообщении #1492672 писал(а):

Khomie в сообщении #1492670 писал(а):

но я не могу понять, что мне это дает в вопросе обоснования того факта

Непрерывная периодическая функция является характеристической тогда и только тогда, когда её коэффициенты Фурье неотрицательны. Там кстати, автоматом вылазит и принадлежность последовательности коэффициентов $l_1(\mathbb{Z})$.

Можно кстати, было поступить и иначе, воспользоваться тем фактом, что периодизация финитной характеристической функции будет характеристическая функция. Ну нормировать конечно надо, если носители наезжают. Но это через... Т.к. в начале всё равно пришлось бы считать преобразования Фурье обрубка и показывать его неотрицательность.

-- 16.11.2020, 16:09 --

Khomie в сообщении #1492651 писал(а):

Знаю, что наверное самым лучшим приемом в данном вопросе должна была бы стать теорема Бохнера-Хинчина, но я, честно говоря, не совсем понимаю каким образом она применяется на практике.

Упс. Не прочитал этот абзац. Этой теоремой удобно пользоваться в двух случаях: 1) функция из $L_1$; 2) периодическая.
Точнее говоря используют её следствия. В первом случае непрерывная функция будет хар. функцией тогда и только тогда, когда её преобразование Фурье неотрицательно. Второе следствие я сформулировал в сообщении выше.

Я "дичайше" извиняюсь, не могли бы Вы дать ссылку на вывод этого следствия, потому что я его нигде не встречал(Это я про коэффициенты ряда Фурье).

[FL91]

Khomie в сообщении #1492676 писал(а):

не могли бы Вы дать ссылку на вывод этого следствия

Даже не знаю. В Лукаче "Характеристические функции" должно быть есть.

Там (в следствии) только в одну сторону, по сути, не очевидно, которая Вам и нужна. Т.е. надо показать, что если коэффициенты Фурье непрерывной периодической функции неотрицательны, то они из $l_1(\mathbb{Z})$. Это доказать не сложно.

[novichok2018]

А можно действовать по определению? Взять обратное преобразование Фурье и проверить, что это функция распределения некоторой СВ?

[alisa-lebovski]

Khomie в сообщении #1492670 писал(а):

Хорошо, в ряд Фурье я уже разложил, но я не могу понять, что мне это дает в вопросе обоснования того факта, что эта функция является характеристической?

Вы фактически найдете вероятности целочисленных точек, с точностью до множителя (распределение симметрично относительно нуля). Раз есть конкретное распределение, значит, функция характеристическая.

[Brukvalub]

novichok2018 в сообщении #1492694 писал(а):

Взять обратное преобразование Фурье и проверить, что это функция распределения некоторой СВ?

А оно возьмется?

[alisa-lebovski]

Khomie в сообщении #1492676 писал(а):

Можно кстати, было поступить и иначе, воспользоваться тем фактом, что периодизация финитной характеристической функции будет характеристическая функция.

Это есть в Феллере.

[Khomie]

alisa-lebovski в сообщении #1492695 писал(а):

Khomie в сообщении #1492670 писал(а):

Хорошо, в ряд Фурье я уже разложил, но я не могу понять, что мне это дает в вопросе обоснования того факта, что эта функция является характеристической?

Вы фактически найдете вероятности целочисленных точек, с точностью до множителя (распределение симметрично относительно нуля). Раз есть конкретное распределение, значит, функция характеристическая.

Да, я как раз в итоге к этому и пришел, то бишь получилось показать, что сумма коэффициентов ряда действительно дает 1, как и положено вероятностям, а сам ряд является действительной частью другого ряда, выражающего $\mathbf{E}\exp(itX)$ для дискретной случайной величины Х. А это, в свою очередь, определение характеристической функции.

Спасибо всем большое, вроде и просто все оказалось, но без пинков бы не догадался.