Свёртка

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1491755 писал(а):

То есть когда переходим от $g(\tau)$ к $g(t-\tau)$, график функции сначала отражается относительно оси $Oy$, а потом сдвигается на $t$ единиц влево.
После чего,
а) для каждой точки по оси $\tau$ и фиксированном $t$ вычисляется произведение $f(\tau)g(t-\tau)$, получается некая функция от $\tau$.
б) потом для этой функции берется интеграл по $\tau$ всей числовой прямой. Поучается некое число.
в) и всё это делается для всех значений $t$. Таким образом, получается новая функция от $t$.

Если $g(t-\tau)$ - прямоугольник с высотой $1$, то значение свертки равно площади пересечения площадей под графиками, и так для каждого $t$.

upgrade в сообщении #1491758 писал(а):

Solaris86
По горизонтальной оси - $t$, а $\tau$ пробегает по этой оси при фиксированном $t$.
Фиксируете $t$, (например $-1$), нашли сумму всех произведений $g(-100)f(1-(-100))d\tau+g(-99)f(1-(-99))d\tau...$ - поставили точку, изменили $t$, пробежали $\tau$, следующая точка и так по всему диапазону.
Но этого для понимания свёртки мало, более того, может оказаться вредным.

Так... Тут пока никак не заходит эта инфа. Давайте под другим углом.
Пусть есть две функции:
1. $f(\tau) = \theta(\tau+0.5)-\theta(\tau-0.5)$
2. $g(\tau) = \theta(\tau+1)-\theta(\tau)
Их графики перекрываются наполовину, потому площадь перекрытия будет 0.5.
Теперь от этой "печки" нужно начать и понять:
1. Как формально посчитать площадь перекрытия?
2. Зачем для свёртки одну из функций нужно зеркально отображать?

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1491772 писал(а):

1. Как формально посчитать площадь перекрытия?

Разбиваете область интегрирования на такие интервалы, внутри которых произведение функций будет непрерывно. Считаете в каждом отдельно и складываете.

Solaris86 в сообщении #1491772 писал(а):

2. Зачем для свёртки одну из функций нужно зеркально отображать?

Для выполнения коммутативности, чтобы $(f \star g)(t)=(g \star f)(t)$

[upgrade]

Solaris86 в сообщении #1491772 писал(а):

Так... Тут пока никак не заходит эта инфа. Давайте под другим углом.

До перекрытия (пересечения множеств) еще не близко. И на картинки пока не смотрите.
Вот формула
$(f \star g)(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-\tau)g(\tau)d\tau$
Она "работает" так:
$t=-1$
$(f \star g)(-1) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(-1-\tau)d\tau = $
дальше, чтобы получить, чему равно $(f \star g)(-1)$, пробегаем по $\tau$ с шагом $d\tau$, заменим бесконечности чем то очень большим, но конечным для наглядности, например от $-10$ до $10$:

$(f \star g)(-1) = \int\limits_{\tau=-10}^{\tau=+10}f(\tau)g(-1-\tau)d\tau$
пусть $d\tau = 0,5$

$(f \star g)(-1) = f(-10)g(-1-(-10))0,5+f(-10+0,5)g(-1-(-10+0,5))0,5+f(-10+0,5+0,5)g(-1-(-10+0,5+0,5))0,5+...+f(10)g(-1-(10))0,5$
просуммировади, узнали, чему равно значение $(f \star g)(t)$ в $t=-1$

теперь $t=-0,9$

Все тоже самое ($d\tau=0,5$; $\tau$ от $-10$ до $+10$), только вместо $-1$ ставим $-0,9$
И так по всему диапазону $t$ интересующих сигналов.
Затем расставляем точки
по горизонтали $t$
по вертикали $(f \star g)(t)$

[Евгений Машеров]

Возможно, часть проблем в том, что Вы ищете свёртку двух импульсов. А реальный радиотехник или "сигнальщик" (в смысле DSP) свёртывает импульс с импульсной характеристикой. Разница в том, что аргумент и там, и там время, только разное время. Для импульса это реальное время, а в случае импульсной характеристики "условное", сдвиг по отношению к реальному.

[epros]

Евгений Машеров в сообщении #1492152 писал(а):

Для импульса это реальное время, а в случае импульсной характеристики "условное", сдвиг по отношению к реальному.

Если вспомнить, что импульсная характеристика - это реакция на дельта-функцию на входе, то аргумент времени в импульсной характеристике - тоже в некотором смысле реальное время - то, которое прошло от момента подачи на вход дельта-функции.

[Solaris86]

А могу я как-то формально прийти к результату, что график треугольного импульса, получающегося как результат свёртки, будет иметь формулу:

$$ (f \star g)(t) = \begin{cases} (t+1)\theta(t+1) + (-t-1)\theta(t) + (-t+1)\theta(-t+1) + (t-1)\theta(-t)&\text{при $t \not = 0$} \\ 1&\text{при $t = 0$} \\ \end{cases} $$

?

[epros]

Solaris86 в сообщении #1492628 писал(а):

А могу я как-то формально прийти к результату, что график треугольного импульса, получающегося как результат свёртки, будет иметь формулу:

Формально - это нужно просто интеграл посчитать. Оно не должно вызывать удивления, ибо первообразная от константы - линейная функция с точностью до константы.

Или хотите это как-то осознать "в картинках"?

[StaticZero]

(Оффтоп)

На всякий случай.

Solaris86 в сообщении #1491735 писал(а):

Получилась неопределённость $\infty-\infty$. Нужно как-то доказать, что она в данном случае равна $0$, тогда получится нужный ответ $S = 1$, но я не знаю, как работать в данном случае с этой неопределённостью.

Потому что подорвались на мине. Вы сначала должны разделить интегралы разности на промежутки:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \theta - \theta = \sum \int_{a_i}^{a_{i+1}} \theta - \theta$$

потом раздёргать сами интегралы.

Сделать это с "крайними" интегралами нельзя, потому что они несобственные, а значит это пределы, а значит, вам нельзя порвать интеграл разности, ну и прочие разговоры. Но вам достаточно заметить, что носитель вашей функции (разность двух Хевисайдов) конечен, и не писать заведомо нулевые интегралы.

Собсна, EUgeneUS это сказал, но не явно. Поэтому я вещаю из оффтопа.

-- 16.11.2020 в 12:58 --

Solaris86 в сообщении #1492628 писал(а):

А могу я как-то формально прийти к результату, что график треугольного импульса, получающегося как результат свёртки, будет иметь формулу:

$$ (f \star g)(t) = \begin{cases} (t+1)\theta(t+1) + (-t-1)\theta(t) + (-t+1)\theta(-t+1) + (t-1)\theta(-t)&\text{при $t \not = 0$} \\ 1&\text{при $t = 0$} \\ \end{cases} $$

?

Хевисайды нужны, чтобы ограничить носитель. За их нагромождением, возможно, вы и не видите леса?

[alisa-lebovski]

Solaris86 в сообщении #1492628 писал(а):

А могу я как-то формально прийти к результату

Зачем, если это неудобно, используя функцию $\theta$. В этой свертке гораздо удобнее использовать функции-индикаторы вида $I(a\le x\le b)$. И понятно, как они перемножаются и чему от них равны интегралы.