Размерность физических величин

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Помогите разобраться с размерностью.
Задача: Сила тока (амперы) через конденсатор $C=2$ мкФ изменяется по закону: $i(t)= 1,2 \exp (- 0,75 t) $, где $t$ в микоросекундах. Определить напряжения на конденсаторе через $T=2 $ сек, если в начальный момент напряжение на конденсаторе $u(0)=0$.

Известно, что: $i(t)= C \frac{du(t)}{dt} $ , тогда: $ u(T)=\frac{1}{C} \int\limits_{0}^{T} i(t) dt = \frac{1,2}{C} \int\limits_{0}^{T} \exp (-0,75 t) dt = \frac{2,4}{C} (1-\exp(-0,75 T) ) $.

Подскажите пожалуйста, если время в микоросекундах, ток в амперах, емкость в фарадах (СИ), а коэффициенты в формуле для $i(t)=1,2 \exp (- 0,75 t) $ не понятно в чем, то как правильно здесь перевести единицы, чтобы найти значение $u(t)$ в вольтах?

[rascas]

Использовать систему единиц СИ. Преобразовать формулу так, чтобы там применялись секунды, а не микросекунды:

Stensen в сообщении #1491820 писал(а):

$i(t)= 1.2 \exp (- 0.75 t) $, где $t$ в микросекундах

[Stensen]

rascas в сообщении #1491826 писал(а):

Stensen в сообщении #1491820 писал(а):

$i(t)= 1.2 \exp (- 0.75 t) $, где $t$ в микросекундах

Использовать систему единиц СИ. Преобразовать формулу так, чтобы там применялись секунды, а не микросекунды.

Правильно я понимаю, что если перевести сек. в микросек. в токе: $i(t)= 1,2 \exp (- 0,75 \cdot t_{\mu sec})= 1,2 \exp (- 0,75 \cdot 10^6 \cdot t_{sec})$ и интегрировать эту функцию, то ответ получим в вольтах?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1491831 писал(а):

то ответ получим в вольтах?

Если интегрировать амперы по времени, получим, очевидно, кулоны.
У вас, кстати, в формуле получается $1.2/0.75=2.4$, что неверно.

-- 12.11.2020, 16:40 --

[EUgeneUS]

Stensen в сообщении #1491820 писал(а):

Подскажите пожалуйста, если время в микоросекундах, ток в амперах, емкость в фарадах (СИ), а коэффициенты в формуле для $i(t)=1,2 \exp (- 0,75 t) $ не понятно в чем, то как правильно здесь перевести единицы, чтобы найти значение $u(t)$ в вольтах?

Как раз-то понятно в чём коэффициенты.
Множитель $1.2$ перед экспонентой - в амперах.
Множитель $-0.75$ в показателе - в микросекундах в минус первой степени.

Это следует из очевидного: ток должен быть в амперах, а показатель степени должен быть безразмерный.

[Stensen]

DimaM в сообщении #1491833 писал(а):

Если интегрировать амперы по времени, получим, очевидно, кулоны. -- 12.11.2020, 16:40 --

Да, я имел в виду, что интегрируем по приведенной формуле, т.е. делим на $C$.

DimaM в сообщении #1491833 писал(а):

У вас, кстати, в формуле получается $1.2/0.75=2.4$, что неверно. -- 12.11.2020, 16:40 --

Да, это косяк.

EUgeneUS в сообщении #1491837 писал(а):

Множитель $1.2$ перед экспонентой - в амперах. Множитель $-0.75$ в показателе - в микросекундах в минус первой степени. Это следует из очевидного: ток должен быть в амперах, а показатель степени должен быть безразмерный.

Т.е. нужно перевести множитель $-0.75$ в показателе степени в секунды в минус первой степени, написать так: $i(t)= 1,2 \exp (- \frac{t_{\mu sec}}{\frac{4}{3}_{\mu sec}}) = 1,2 \exp (- \frac{t_{sec}}{\frac{4}{3} \cdot 10^-6 _{sec}})$ и подставлять в формулу для $u(t) $ , все остальные величины в СИ. Все верно?

[rascas]

Stensen в сообщении #1491850 писал(а):

подставлять в формулу для $u(t) $ , все остальные величины в СИ. Все верно?

Вот именно все величины необходимо переводить в СИ, (и ёмкость конденсатора в том числе!)

[Stensen]

rascas в сообщении #1491851 писал(а):

Stensen в сообщении #1491850 писал(а):

подставлять в формулу для $u(t) $ , все остальные величины в СИ. Все верно?

Вот именно все величины необходимо переводить в СИ, (и ёмкость конденсатора в том числе!)

Да, как-то забыл $C=2 \cdot 10^{-6} \,\Phi$

[EUgeneUS]

Stensen в сообщении #1491850 писал(а):

Т.е. нужно перевести множитель $-0.75$ в показателе степени в секунды в минус первой степени,

IMHO, нужно так: решить всё "в буквах". Тогда будет сразу видно, что в том месте, где множитель из показателя вынесся в множитель перед экспонентой, там нужно переводить в секунды обязательно. А в показателе можно миллисекунды разделить на миллисекунды или секунды на секунды - без разницы.

[realeugene]

Stensen в сообщении #1491820 писал(а):

изменяется по закону: $i(t)= 1,2 \exp (- 0,75 t) $,

Научитесь сразу писать в формулах размерности при всех размерных численных константах.

[DimaM]

Очевидно, что экспоненту в конечной формуле можно безболезненно выкинуть .