Момент инерции неоднородного диска

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Помогите разобраться в задаче.
Найти момент инерции диска относительно оси симметрии, если радиус $R=10$ см, толщина изменяется в зависимости от расстояния от оси по закону $h(r) = 0,5(1+0,15 r^2-0,0125 r^3)$, где все линейные размеры указаны в сантиметрах.

Буду искать момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости диска. По определению момента инерции: $J=\int\limits_{0}^{R} r^2 dm$, где: $dm=\rho dV$,
$dV$ нахожу как элементарный объем полого цилиндра с толщиной стенок $dr$ и высотой $h(r)$:

$dV= \pi (r+dr)^2 h(r+dr) -\pi r^2 h(r) = 2 \pi r h(r) dr $ , тогда:

$dm= 2 \pi r \rho h(r) dr = \pi r \rho (1+0,15 r^2-0,0125 r^3) dr$

$J=\pi \rho\int\limits_{0}^{R} r^3 (1+0,15 r^2-0,0125 r^3) dr=\pi \rho R^4 (\frac{1}{4}+\frac{0,15R^2}{6}-\frac{0,0125R^3}{7})$ . Все ли верно?

[DimaM]

На первый взгляд верно.
Но надо, насколько я понимаю, в финальное выражение подставить $R$. И еще бы для полноты картины плотность задать, например, $7.8\;\text{г/см}^3$.

[EUgeneUS]

Stensen в сообщении #1491806 писал(а):

$dV= \pi (r+dr)^2 h(r+dr) -\pi r^2 h(r) = 2 \pi r h(r) dr $ , тогда:

Удобно помнить, что в цилиндрических координатах:
$dV = r d r d z d \varphi$

[Stensen]

Спасибо, понятно