Свёртка

[Solaris86]

Здравствуйте! Не могу понять операцию свёртки функций.
Прошу пояснить на примере из Википедии для двух прямоугольных импульсов.

Пусть у нас "синий" импульс фиксирован, а "красный" импульс скользит вдоль оси $\tau$
Уравнение "синего" прямоугольного импульса - $f(\tau) = \delta_1(\tau+0.5)-\delta_1(\tau-0.5)$, где $\delta_1$ - единичная ступенчатая функция (взял обозначение из ТОЭ)
Уравнение "красного" прямоугольного импульса - $g(t-\tau) = \delta_1(t-(\tau+0.5))-\delta_1(t-(\tau-0.5))$
Если я правильно понимаю, то $t$ - это параметр, который принимает бесконечное множество фиксированных значений: $\tau \in (-\infty;+\infty)$
Тогда уравнение "чёрного" треугольного импульса - $(f \star g)(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t-\tau)g(\tau)d\tau$
Рассмотрим 3 случая:
1) $t \geqslant 2\tau + 1$: $(f \star g)(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(2\tau + 1 - \tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(\tau + 1)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\delta_1(\tau+0.5)-\delta_1(\tau-0.5))(\delta_1(\tau+1.5)-\delta_1(\tau+0.5))d\tau = ... = 0$
2) $t = 2\tau$: $(f \star g)(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(2\tau-\tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(\tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\delta_1(\tau+0.5)-\delta_1(\tau-0.5))(\delta_1(\tau+0.5)-\delta_1(\tau-0.5))d\tau = ... = 1 $
3) $t \leqslant 2\tau - 1$: $(f \star g)(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(2\tau - 1 - \tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(\tau - 1)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\delta_1(\tau+0.5)-\delta_1(\tau-0.5))(\delta_1(\tau-0.5)-\delta_1(\tau-1.5))d\tau = ... = 0$

Вопросы:
1. Правильно ли я написал, что если $f(\tau) = \delta_1(\tau+0.5)-\delta_1(\tau-0.5)$, то $g(t-\tau) = \delta_1(t-(\tau+0.5))-\delta_1(t-(\tau-0.5))$?
2. Не понимаю, как формально прийти к результату 0, 1 и 0 для случаев 1), 2) и 3) соответственно (как вести рассуждения, чтобы заполнить места с многоточиями).

[alisa-lebovski]

Solaris86 в сообщении #1491695 писал(а):

Не могу понять операцию свёртки функций.

А рисунок Вы не понимаете или не хотите использовать?

[EUgeneUS]

1. У Вас верстка съехала из-за длинных формул.
2. Обозначение $\delta$ для ступенчатой функции неудачное. Оно зарезервировано за дельта-функцией. Для "ступеньки" общепринято $\theta$, "тета-функция Хэвисайда".
3. Три случая, приведенные Вами, некорректны. $\tau$ при интегрировании пробегает все значения из $(-\infty,+\infty)$, и записанные Вами неравенства не имеют смысла.

-- 11.11.2020, 17:48 --

Если же неравенства записать так:
1. $t \leqslant 1$
2. $t = 0$
3. $t \geqslant 1$

То с данными функциями удобно поступить так
а) определить области, где обе функции не равны нулю (в (1) и (3) это будут точки - а значит подынтегральное выражение неравно нулю на множестве меры ноль, а значит интеграл равен нулю).
б) если обе функции не равны нулю, то (для данных функций) их произведение равно единице. Интеграл считается элементарно.

И да, уважаемая alisa-lebovski верно заметила, что рисунок это всё хорошо иллюстрирует.

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1491697 писал(а):

1. У Вас верстка съехала из-за длинных формул.

У меня не получается сделать формулы на всю ширину экрана, там же место есть, не понимаю, почему они обрываются и переносятся на следующую строку... Если подскажете, как это сделать, будет здорово.

EUgeneUS в сообщении #1491697 писал(а):

2. Обозначение $\delta$ для ступенчатой функции неудачное. Оно зарезервировано за дельта-функцией. Для "ступеньки" общепринято $\theta$, "тета-функция Хэвисайда".

Окей, обозначу через $\theta$.

EUgeneUS в сообщении #1491697 писал(а):

3. Три случая, приведенные Вами, некорректны. $\tau$ при интегрировании пробегает все значения из $(-\infty,+\infty)$, и записанные Вами неравенства не имеют смысла.

Вот тут я, честно признаться, пока не могу сообразить.
Давайте начнём с обозначений (мне уже не раз говорили на этом форуме, что есть ошибки в обозначениях).
Пусть у нас есть какая-то функция $f(x)$: $f(x) = 2x$.
Я хочу узнать, что произойдёт при замене аргумента с $x$ на $x-1$: $f(x-1) = 2(x-1) = 2x - 2$. Это вроде ясно.
А вот дальше ряд вопросов возникает:
1) могу ли я обозначить $f(x-1)$ через $g(x)$: $g(x) = f(x-1) = 2x-2$?
2) тогда чему будет равно $g(x-1)$ в этом случае: $g(x-1) = 2(x-1)-2 = 2x-4$? Так?

После этого возникает вопрос: если $f(\tau) = \theta(\tau+0.5)-\theta(\tau-0.5)$, то чему будет равно $g(t-\tau)$?
У меня два варианта:
1) $f(\tau) = \theta(\tau+0.5)-\theta(\tau-0.5) \Rightarrow f(t-\tau) = \theta(t-\tau+0.5)-\theta(t-\tau-0.5) = g(\tau) \Rightarrow g(t-\tau) = \theta(t-(t-\tau)+0.5)-\theta(t-(t-\tau)-0.5) = \theta(\tau+0.5)-\theta(\tau-0.5)$
2) $f(\tau) = \theta(\tau+0.5)-\theta(\tau-0.5) = g(\tau) \Rightarrow g(t-\tau) = \theta(t-\tau+0.5)-\theta(t-\tau-0.5)$
Какой верный и почему?

-- 11.11.2020, 19:52 --

alisa-lebovski в сообщении #1491696 писал(а):

А рисунок Вы не понимаете или не хотите использовать?

Не понимаю, поэтому не могу использовать.

[alisa-lebovski]

Solaris86 в сообщении #1491729 писал(а):

Не понимаю, поэтому не могу использовать.

Интеграл произведения равен площади пересечения.

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1491729 писал(а):

У меня не получается сделать формулы на всю ширину экрана, там же место есть, не понимаю, почему они обрываются и переносятся на следующую строку... Если подскажете, как это сделать, будет здорово.

Попробуйте вместо одного знака доллара использовать два (с каждой стороны, конечно). По крайней-мере, формулы будут меньше путаться с окружающим текстом.

Solaris86 в сообщении #1491729 писал(а):

А вот дальше ряд вопросов возникает:
1) могу ли я обозначить $f(x-1)$ через $g(x)$: $g(x) = f(x-1) = 2x-2$?
2) тогда чему будет равно $g(x-1)$ в этом случае: $g(x-1) = 2(x-1)-2 = 2x-4$? Так?

так.

Solaris86 в сообщении #1491729 писал(а):

После этого возникает вопрос: если $f(\tau) = \theta(\tau+0.5)-\theta(\tau-0.5)$, то чему будет равно $g(t-\tau)$?

Важно понимать, что $f(\tau)$ и $g(\tau)$, вообще говоря, это две совершенно независящие друг от друга функции. Просто в данном примере, они выбраны одинаковыми. Кстати, в статье, откуда Вы взяли рисунок, если другой пример, где $f(\tau)$ и $g(\tau)$ различны.
Поэтому Ваш вопрос нужно переформулировать так: если

$$g(\tau) = \theta(\tau+0.5)-\theta(\tau-0.5)$$

то чему равна $g(t-\tau)$

Ответ получается простой заменой $\tau \to t-\tau$, то есть:

$$g(t-\tau) = \theta(t-\tau+0.5)-\theta(t-\tau-0.5)$$

-- 11.11.2020, 20:27 --

Solaris86
Скажите, Вы понимаете, что происходит с графиком некой функции $f(x)$, если
а) заменить аргумент на $-x$. То есть как будет выглядеть график функции $g(x) = f(-x)$, если знаем, как выглядит график функции $f(x)$
б) заменить аргумент на $x+с$, где $c$ - положительная (для определенности) константа. То есть как будет выглядеть график функции $g(x) = f(x_с)$, если знаем, как выглядит график функции $f(x)$

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1491697 писал(а):

Интеграл считается элементарно.

Не скажите, для меня эти интегралы для импульсных, ступенчатых и т.п. функций сложны.
Для примера, я знаю, что исходя из рисунка площадь под графиком единичного квадратного импульса равна 1. Но как посчитать это формально?
$S = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\theta(\tau+0.5)-\theta(\tau-0.5))d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\theta(\tau+0.5)d\tau - \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\theta(\tau-0.5)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{-0.5}\theta(\tau+0.5)d\tau + \int\limits_{-0.5}^{0.5}\theta(\tau+0.5)d\tau + \int\limits_{0.5}^{+\infty}\theta(\tau+0.5)d\tau -\int\limits_{-\infty}^{0.5}\theta(\tau-0.5)d\tau - \int\limits_{0.5}^{+\infty}\theta(\tau-0.5)d\tau = 0 + 1 + \infty - 0 - \infty$
Получилась неопределённость $\infty-\infty$. Нужно как-то доказать, что она в данном случае равна $0$, тогда получится нужный ответ $S = 1$, но я не знаю, как работать в данном случае с этой неопределённостью.

-- 11.11.2020, 20:34 --

Solaris86 в сообщении #1491735 писал(а):

Попробуйте вместо одного знака доллара использовать два (с каждой стороны, конечно). По крайней-мере, формулы будут меньше путаться с окружающим текстом.

Вот что получится, если использовать двойной знак доллара

$$S = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\theta(\tau+0.5)-\theta(\tau-0.5))d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\theta(\tau+0.5)d\tau - \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\theta(\tau-0.5)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{-0.5}\theta(\tau+0.5)d\tau + \int\limits_{-0.5}^{0.5}\theta(\tau+0.5)d\tau + \int\limits_{0.5}^{+\infty}\theta(\tau+0.5)d\tau -\int\limits_{-\infty}^{0.5}\theta(\tau-0.5)d\tau - \int\limits_{0.5}^{+\infty}\theta(\tau-0.5)d\tau = 0 + 1 + \infty - 0 - \infty$$

Всё, дальше формула не отображается.

-- 11.11.2020, 20:35 --

alisa-lebovski в сообщении #1491730 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1491729 писал(а):

Не понимаю, поэтому не могу использовать.

Интеграл произведения равен площади пересечения.

А, ну этот факт я понял, но вот почему так получается, для меня пока не ясно.

[EUgeneUS]

Для ступенчатых функций нужно просто разбить область определения на интервалы, где функция постоянна и взять интегралы от константы. В данном случае всего три области.

Вам нужно третье и пятое слагаемое вернуть обратно внутрь интеграла (они же берутся по одной и той же области). Получится определенный интеграл от нуля. И всех делов.

-- 11.11.2020, 21:06 --

Solaris86 в сообщении #1491735 писал(а):

А, ну этот факт я понял, но вот почему так получается, для меня пока не ясно.

По построению. Именно этого и хотели добиться.
На самом деле, только если одна функция - прямоугольник с единичной высотой, то интеграл пересечения равен площади пересечения. А так-то свертку можно строить с разными функциями, главное, чтобы интеграл по всей числовой прямой сходился.
Например, не сильно быстрорастущие функции можно свернуть с функцией Гаусса.
А если сделать свёртку с дельта-функцией, то на выходе мы получим исходную функцию.

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1491733 писал(а):

Скажите, Вы понимаете, что происходит с графиком некой функции $f(x)$, если
а) заменить аргумент на $-x$. То есть как будет выглядеть график функции $g(x) = f(-x)$, если знаем, как выглядит график функции $f(x)$
б) заменить аргумент на $x+с$, где $c$ - положительная (для определенности) константа. То есть как будет выглядеть график функции $g(x) = f(x_с)$, если знаем, как выглядит график функции $f(x)$

Рискну предположить:
а) график отображается зеркально относительно оси OY;
б) график сдвигается на $c$ единиц в сторону, противоположную направлению оси OX.
Верно?

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1491751 писал(а):

Верно?

Да.

То есть когда переходим от $g(\tau)$ к $g(t-\tau)$, график функции сначала отражается относительно оси $Oy$, а потом сдвигается на $t$ единиц влево.
После чего,
а) для каждой точки по оси $\tau$ и фиксированном $t$ вычисляется произведение $f(\tau)g(t-\tau)$, получается некая функция от $\tau$.
б) потом для этой функции берется интеграл по $\tau$ всей числовой прямой. Поучается некое число.
в) и всё это делается для всех значений $t$. Таким образом, получается новая функция от $t$.

Если $g(t-\tau)$ - прямоугольник с высотой $1$, то значение свертки равно площади пересечения площадей под графиками, и так для каждого $t$.

[Solaris86]

Возвращаясь к функции с параметром. Если я правильно понимаю, то для функции $g(t-\tau) = \theta(t-\tau+0.5)-\theta(t-\tau-0.5)$ будет так:
$S = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(t-\tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\theta(t-\tau+0.5)-\theta(t-\tau-0.5))d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\theta(t-\tau+0.5)d\tau - \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\theta(t-\tau-0.5)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{-t-0.5}\theta(t-\tau+0.5)d\tau + \int\limits_{-t-0.5}^{-t+0.5}\theta(t-\tau+0.5)d\tau + \int\limits_{-t+0.5}^{+\infty}\theta(t-\tau+0.5)d\tau -\int\limits_{-\infty}^{-t+0.5}\theta(t-\tau-0.5)d\tau - \int\limits_{-t+0.5}^{+\infty}\theta(t-\tau-0.5)d\tau = 1$
Тогда получается:
$S_{f(\tau)} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\theta(\tau+0.5)-\theta(\tau-0.5))d\tau = 1$
$S_{g(t-\tau)} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(t-\tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\theta(t-\tau+0.5)-\theta(t-\tau-0.5))d\tau = 1$
$S_{(f \star g)(t) } = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\theta(\tau+0.5)-\theta(\tau-0.5))(\theta(t-\tau+0.5)-\theta(t-\tau-0.5))d\tau = ?$ - как дальше работать с этим интегралом?

[upgrade]

Solaris86
По горизонтальной оси - $t$, а $\tau$ пробегает по этой оси при фиксированном $t$.
Фиксируете $t$, (например $-1$), нашли сумму всех произведений $g(-100)f(1-(-100))d\tau+g(-99)f(1-(-99))d\tau...$ - поставили точку, изменили $t$, пробежали $\tau$, следующая точка и так по всему диапазону.
Но этого для понимания свёртки мало, более того, может оказаться вредным.

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1491756 писал(а):

как дальше работать с этим интегралом?

Например так:
1. Рассмотрим $g(t-\tau)$. Она не равна нулю только на интервале $\tau \in (t-0.5, t+0.5)$
2. То есть область интегрирования сразу ограничивается этим интервалом.
3. В этой области функция $g(t-\tau)$ равна единице.

То есть интеграл можно записать как:

$$(f \star g)(t) = \int\limits_{t-0.5}^{t+0.5} (\theta(\tau+0.5)-\theta(\tau-0.5)) d\tau$$

Уже легче.
Далее, смотрите, как в зависимости от значения $t$ область интегрирования пересекается с областью не нулевых значений подынтегральной функции. У вас получится четыре варианта:
1. не пересеклось, интеграл равен нулю.
2. пересеклось с одной стороны. Получится: интеграл от $1$, но изменится один предел интегрирования.
3. пересеклось с другой стороны. Получится: интеграл от $1$, но изменится другой предел интегрирования.
4. опять не пересеклось, интеграл равен нулю.

[Solaris86]

Нас всякий случай решил ещё раз проверить понимание

Если я правильно все понял, то
А - $f_1(\tau) = \theta(\tau)$
Б - $f_2(\tau) = -\theta(\tau)$
В - $f_3(\tau) = -\theta(-\tau)$
Г - $f_4(\tau) = \theta(-\tau)$
Верно?

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1491764 писал(а):

Верно?

Да.

-- 11.11.2020, 23:23 --

Solaris86
С кусочно-непрерывными функциями такая возня...
Может на гладких будет нагляднее.
1. Свернем $f(\tau) = \frac{1}{\tau^2+1}$ с прямоугольным окном $g(\tau) = \theta(\tau+0.5) - \theta(\tau-0.5)$

$$(f \star g)(t) = \int\limits_{-\infty}^{-\infty} \frac{1}{\tau^2+1} (\theta(t-\tau+0.5) - \theta(t-\tau-0.5)) d \tau$$

$$(f \star g)(t) = \int\limits_{t-0.5}^{t+0/5} \frac{1}{\tau^2+1}d \tau$$

Находите неопределенный интеграл, подставляете переделы интегрирования в формулу Ньютона-Лейбница, получаете результат.

2. Свернем $f(\tau) = \frac{1}{\tau^2+1}$ саму с собой

$$(f \star f)(t) = \int\limits_{-\infty}^{-\infty} \frac{1}{\tau^2+1} \frac{1}{(t-\tau)^2+1}d \tau$$

Рассматриваете $t$ как параметр, интеграл берется для любого $t$ и получается

$$(f \star f)(t) = \frac{2\pi}{t^2+4}$$