Уравнение с корнем

[Kosat]

Здравствуйте, коллеги.

Как лучше всего объяснить процесс решения данного уравнения, по вашему мнению? Ведь область определения, полученная из неотрицательности радикандов, включает в себя ложный корень.

$\sqrt{x+5}=-\sqrt{2x-1}$

Update.
Вот моя попытка решения.
Сначала найдём область определения:
$x+5\ge0 \hspace{1 cm} x+5=\ge-5$
$2x-1\ge0 \hspace{1 cm} x\ge\frac{1}{2}$
Тогда:
x\ge\frac{1}{2}$
Возводим обе части в квадрат:
$x+5=-2x-1$
$x=6$
Оно входит в область определения, но проверяем подстановкой:
$\sqrt{6+5}=-\sqrt{2\cdot6-1}$
$\sqrt{11}\ne-\sqrt{11}$
Ответ: нет корней.

[Dmitriy40]

Два нестрогих неравенства на левую и правую часть пересекаются ровно в одной точке. Находим её и подстановкой убеждаемся является ли она решением.

[Mikhail_K]

Kosat в сообщении #1491086 писал(а):

Как лучше всего объяснить процесс решения данного уравнения, по вашему мнению? Ведь область определения, полученная из неотрацательности радикандов, включает в себя ложный корень.

$\sqrt{x+5}=-\sqrt{2x-1}$

Выкладывайте свою попытку решения целиком, со всеми формулами и с предлагаемым Вами обоснованием. Тогда можно будет сказать, что у Вас верно, что неверно, что требует дополнительного обоснования.

[nnosipov]

Kosat
Уравнение слишком специфично, чтобы применять к нему такую общую процедуру как возведение в квадрат. К тому же представьте, что под корнями могли оказаться более сложные выражения (настолько сложные, что решение уравнения, полученного после возведения в квадрат, вызвало бы затруднения).

В данном случае можно было заметить, что левая часть уравнения всегда неотрицательна, а правая --- неположительна (на их общей области определения). Поэтому равенство возможно только если они обе равны нулю. (Вот и Dmitriy40 о том же пишет.)

-- Сб ноя 07, 2020 23:47:07 --

Kosat в сообщении #1491086 писал(а):

Вот моя попытка решения.

Да, это правильно.

[Mikhail_K]

nnosipov в сообщении #1491091 писал(а):

Да, это правильно.

Опечатку только надо исправить:

Kosat в сообщении #1491086 писал(а):

Возводим обе части в квадрат:
$x+5=-2x-1$

==========

Kosat в сообщении #1491086 писал(а):

Ведь область определения, полученная из неотрицательности радикандов, включает в себя ложный корень.

Да. Возведение в квадрат - не равносильное преобразование, а переход к следствию. После него всегда могут появляться "лишние корни", и в конце требуется проверка путём подставления в уравнение.

Если не хочется делать проверку, можно решать уравнение равносильными преобразованиями.

==========

Немного теории. Уравнение $\sqrt{f(x)}=g(x)$ равносильно системе

$$ \begin{Bmatrix} f(x)=g^2(x)\\ g(x)\geq 0 \end{Bmatrix} $$

Заметьте: не $f(x)\geq 0$, а $g(x)\geq 0$. Это потому, что если мы захотим из $f(x)=g^2(x)$ перейти обратно к исходному равенству, нам придётся извлекать корень из обеих частей и вместо $\sqrt{f(x)}=g(x)$ мы получим равенство $\sqrt{f(x)}=|g(x)|$ (корень из квадрата - это модуль!), и вот чтобы модуль раскрылся со знаком плюс, и нужно условие $g(x)\geq 0$.

А почему $g(x)\geq 0$ из исходного равенства вытекает, тоже понятно: потому что в нём $g(x)$ равно квадратному корню из чего-то и поэтому неотрицательно.
Что касается требования $f(x)\geq 0$, то оно здесь излишне, так как автоматически вытекает из записанного вывода $f(x)=g^2(x)$: раз $f(x)$ равно квадрату чего-то, то оно точно неотрицательно.

==========

Здесь можно было бы взять либо $f(x)=x+5$, $g(x)=-\sqrt{2x-1}$, либо $f(x)=2x-1$, $g(x)=-\sqrt{x+5}$, как больше нравится. Посмотрите, какие условия на корень получатся. Вовсе не только неотрицательность подкоренных выражений.

Но гораздо лучше, конечно, сразу рассуждать как написали Dmitriy40 и nnosipov

[Kosat]

Mikhail_K
Благодарю.

[gevaraweb]

Kosat в сообщении #1491086 писал(а):

Возводим обе части в квадрат:
$x+5=-2x-1$
$x=6$

Если не хочется рассуждать глубоко, то сойдет и ваше рассуждение, только сначала нужно написать
$|x+5|=|2x-1|$

[Mikhail_K]

gevaraweb в сообщении #1491228 писал(а):

Если не хочется рассуждать глубоко, то сойдет и ваше рассуждение, только сначала нужно написать
$|x+5|=|2x-1|$

Зачем это писать? Не вижу смысла такое писать.
При возведении корня в квадрат никаких модулей не появляется; а даже если они вдруг появились, их следует сразу убрать, так как они заведомо раскрываются со знаком плюс.
Модули появляются при извлечении корня из квадрата, а не при возведении корня в квадрат.

[gevaraweb]

Mikhail_K в сообщении #1491230 писал(а):

Модули появляются при извлечении корня из квадрата, а не при возведении корня в квадрат.

Ах да, точно :)