2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Линейная зависимость столбцов в матрице
Сообщение08.11.2020, 12:07 


29/07/19
15
В Беклемишеве представлено следующее предложение и доказательство к нему:
"В матрице любые $n$ $+$ 1 столбцов высоты n линейно зависимы"
Доказательство:
"Пусть это столбцы $a_1$, $a_2$,....,$a_n$. Если они линейно зависимы, то утверждение очевидно. В противном случае они составляют невырожденную матрицу порядка $n$, и по теореме 2 $§$ 2 столбец $a_{n+1}$ раскладывается по ним".
Теорема 2 $§$ 2:
"Пусть A — невырожденная матрица порядка $n$. Тогда любой столбец высоты $n$ раскладывается по столбцам A, причем коэффициенты разложения однозначно определены". Это очевидно, достаточно составить линейную комбинацию из столбцов матрицы, где требуемый столбец с коэффициентом 1, а остальные столбцы с коэффициентом 0.
Но почему эта теорема применима к доказательству линейной зависимости $n+1$ столбцов высоты $n$, если столбец $a_{n+1}$ не имеет никакого отношения к невырожденной матрице порядка $n$. Из этой теоремы следует, что мы можем разложить только каждый из $n$ столбцов невырожденный матрицы, но не $a_{n+1}$ столбец.
После доказательства написано следующее утверждение: "Разумеется, линейно зависима любая система столбцов, если в ней число столбцов превосходит число элементов столбца". Исходя из предыдущего предложения, это утверждение по видимому основывается на том, что в этих матрицах мы всегда можем выделить квадратную матрицу порядка $n$. Если столбцы последней линейно зависимы, то утверждение очевидно, а если линейно независимы...как доказать в этом случае?
Помогите разобраться в этих вопросах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость столбцов в матрице
Сообщение08.11.2020, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9542
Цюрих
Marmelad в сообщении #1491163 писал(а):
Из этой теоремы следует, что мы можем разложить только каждый из $n$ столбцов невырожденный матрицы, но не $a_{n+1}$ столбец.
Перечитайте внимательно.
Marmelad в сообщении #1491163 писал(а):
Тогда любой столбец высоты $n$ раскладывается по столбцам A
(жирный шрифт мой - mihaild)

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость столбцов в матрице
Сообщение08.11.2020, 15:08 


29/07/19
15
mihaild в сообщении #1491176 писал(а):
Marmelad в сообщении #1491163 писал(а):
Из этой теоремы следует, что мы можем разложить только каждый из $n$ столбцов невырожденный матрицы, но не $a_{n+1}$ столбец.
Перечитайте внимательно.
Перечитал. Мы могли бы разложить столбец $a_{n+1}$, если бы порядок матрицы был $n+1$, а не $n$, потому-что в теореме идет речь только про квадратную матрицу порядка $n$ и разложение ограничивается только $n$ столбцами.
Marmelad в сообщении #1491163 писал(а):
Тогда любой столбец высоты $n$ раскладывается по столбцам A.
любой столбец в матрице, а не любой вообще

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость столбцов в матрице
Сообщение08.11.2020, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9542
Цюрих
Marmelad в сообщении #1491184 писал(а):
любой столбец в матрице
Откуда вы это взяли? Теорема $2\S 2$ как раз утверждает, что если $A$ - невырожденаня матрица порядка $n$, то вообще любой столбец высоты $n$ раскладывается по столбцам $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейная зависимость столбцов в матрице
Сообщение08.11.2020, 15:29 


29/07/19
15
mihaild в сообщении #1491187 писал(а):
Marmelad в сообщении #1491184 писал(а):
любой столбец в матрице
Откуда вы это взяли? Теорема $2\S 2$ как раз утверждает, что если $A$ - невырожденаня матрица порядка $n$, то вообще любой столбец высоты $n$ раскладывается по столбцам $A$.
Да так и есть, спасибо что помогли разобраться :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lantza


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group