Линейная зависимость столбцов в матрице

[Marmelad]

В Беклемишеве представлено следующее предложение и доказательство к нему:
"В матрице любые $n$ $+$ 1 столбцов высоты n линейно зависимы"
Доказательство:
"Пусть это столбцы $a_1$, $a_2$,....,$a_n$. Если они линейно зависимы, то утверждение очевидно. В противном случае они составляют невырожденную матрицу порядка $n$, и по теореме 2 $§$ 2 столбец $a_{n+1}$ раскладывается по ним".
Теорема 2 $§$ 2:
"Пусть A — невырожденная матрица порядка $n$. Тогда любой столбец высоты $n$ раскладывается по столбцам A, причем коэффициенты разложения однозначно определены". Это очевидно, достаточно составить линейную комбинацию из столбцов матрицы, где требуемый столбец с коэффициентом 1, а остальные столбцы с коэффициентом 0.
Но почему эта теорема применима к доказательству линейной зависимости $n+1$ столбцов высоты $n$, если столбец $a_{n+1}$ не имеет никакого отношения к невырожденной матрице порядка $n$. Из этой теоремы следует, что мы можем разложить только каждый из $n$ столбцов невырожденный матрицы, но не $a_{n+1}$ столбец.
После доказательства написано следующее утверждение: "Разумеется, линейно зависима любая система столбцов, если в ней число столбцов превосходит число элементов столбца". Исходя из предыдущего предложения, это утверждение по видимому основывается на том, что в этих матрицах мы всегда можем выделить квадратную матрицу порядка $n$. Если столбцы последней линейно зависимы, то утверждение очевидно, а если линейно независимы...как доказать в этом случае?
Помогите разобраться в этих вопросах.

[mihaild]

Marmelad в сообщении #1491163 писал(а):

Из этой теоремы следует, что мы можем разложить только каждый из $n$ столбцов невырожденный матрицы, но не $a_{n+1}$ столбец.

Перечитайте внимательно.

Marmelad в сообщении #1491163 писал(а):

Тогда любой столбец высоты $n$ раскладывается по столбцам A

(жирный шрифт мой - mihaild)

[Marmelad]

mihaild в сообщении #1491176 писал(а):

Marmelad в сообщении #1491163 писал(а):

Из этой теоремы следует, что мы можем разложить только каждый из $n$ столбцов невырожденный матрицы, но не $a_{n+1}$ столбец.

Перечитайте внимательно.

Перечитал. Мы могли бы разложить столбец $a_{n+1}$, если бы порядок матрицы был $n+1$, а не $n$, потому-что в теореме идет речь только про квадратную матрицу порядка $n$ и разложение ограничивается только $n$ столбцами.

Marmelad в сообщении #1491163 писал(а):

Тогда любой столбец высоты $n$ раскладывается по столбцам A.

любой столбец в матрице, а не любой вообще

[mihaild]

Marmelad в сообщении #1491184 писал(а):

любой столбец в матрице

Откуда вы это взяли? Теорема $2\S 2$ как раз утверждает, что если $A$ - невырожденаня матрица порядка $n$, то вообще любой столбец высоты $n$ раскладывается по столбцам $A$.

[Marmelad]

mihaild в сообщении #1491187 писал(а):

Marmelad в сообщении #1491184 писал(а):

любой столбец в матрице

Откуда вы это взяли? Теорема $2\S 2$ как раз утверждает, что если $A$ - невырожденаня матрица порядка $n$, то вообще любой столбец высоты $n$ раскладывается по столбцам $A$.

Да так и есть, спасибо что помогли разобраться