Задача по алгебре

[identam]

Здравствуйте, решал задачи по смежным классам, наткнулся на эту:

Найти смежные классы группы $S_n$ по подгруппе четных подстановок $A_n$.

В случае, если вместо n стоит определенное число, задание вроде понятно, а как решить в общем случае?
Спасибо.

[Xaositect]

Ну, например, если $n=6$, то что получится?

[identam]

Xaositect в сообщении #1491055 писал(а):

Ну, например, если $n=6$, то что получится?

Получается их будет два? Один равен $A_6$, а второй будет состоять из оставшихся 360 элементов.

[Xaositect]

Да. А каким свойством обладают оставшиеся 360 элементов?

[identam]

Нечетные все? Получается смежных классов всегда два будет, по теореме Лагранжа?

[Xaositect]

Да, всегда будет два смежных класса - $A_n$ это четные перестановки, и второй класс - это нечетные.
Если Вы уже знаете, что $A_n$ имеет порядок в два раза меньше, чем $S_n$, то можно использовать теорему Лагранжа. Можно сделать и напрямую (доказать, что все нечетные перестановки образуют смежный класс).

[identam]

Спасибо большое! А левые и правые смежные классы получается совпадать не будут?(Не считая самой подгруппы $A_n$)

[Xaositect]

Почему же не будут, если они одни и те же (четные и нечетные перестановки).

[Odysseus]

Xaositect в сообщении #1491080 писал(а):

Если Вы уже знаете, что $A_n$ имеет порядок в два раза меньше, чем $S_n$, то можно использовать теорему Лагранжа. Можно сделать и напрямую (доказать, что все нечетные перестановки образуют смежный класс).

identam Также попробуйте доказать это на основе того, что четные перестановки образуют нормальную подгруппу (если вы уже знаете что это такое, а если не знаете - стоит прочитать и доказать этот факт для четных перестановок). Всегда полезно знать несколько доказательства для каждого утверждение. Не только для лучшего понимания данного утверждения, но и для установления дополнительных связей между разными понятиями.

[vpb]

identam в сообщении #1491082 писал(а):

А левые и правые смежные классы получается совпадать не будут?(Не считая самой подгруппы $A_n$)

Обыкновенно, левые и правые смежные классы не совпадают (но некоторые могут совпадать, скажем сама подгруппа по себе одновременно левый и правый класс). Совпадают для т.наз. нормальных подгрупп (о чем Вы вскоре узнаете непременно, читая далее учебник). Но, отметим, если подгруппа --- индекса 2, то для нее правый смежный класс, отличный от неё самой, также всегда и левый. (Докажите. Это почти очевидно (и общее понятие нормальной подгруппы тут не нужно)). Т.е. она нормальна. В нашем случае как раз так.

Odysseus в сообщении #1491097 писал(а):

Всегда полезно знать несколько доказательства для каждого утверждение.

Весьма спорное утверждение. Я считаю, противоречит природе человека. Не знаю, что более вредно: то ли гоняться специально за несколькими разными доказательствами одного утверждения, то ли их преднамеренно игнорировать в случае чего.

[Odysseus]

vpb в сообщении #1491101 писал(а):

Весьма спорное утверждение. Я считаю, противоречит природе человека.

Мне кажется иначе. Знание нескольких доказательств позволяет лучше почувствовать/понять данное утверждение/понятие, а также лучше понять его связи с другими понятиями. И в отношении последнего добавляется еще один бонус: чем больше связей между разными понятиями, тем лучше понимаешь каждое. Например, нормальную подгруппу в некоммутативных группах не так просто наглядно представить на простых примерах, а четные перестановки здесь очень хороший пример.

И еще мне давно запомнились такие слова:

Ричард Фейнман в http://vivovoco.ibmh.msk.su/VV/Q_PROJECT/FEYNMAN/LECTURE7.HTM писал(а):

Однако с психологической точки зрения обе эти теории могут быть совершенно не равноценными для угадывания новых теорий: ведь они построены совсем на разных фундаментах. Находя для теории место в определенной схеме понятий, вы можете вдруг разглядеть, что здесь требует изменения. Например, в теории А что-то говорится о чем-то, а вы скажете: "Вот это нужно изменить".
Но выяснить, что нужно изменить в другой теории для того, чтобы прийти к эквивалентному результату, может быть очень сложным, и додуматься до этого, может быть, совсем не просто. Другими словами, предполагаемое изменение может быть совершенно естественным для одной теории и столь же неестественным для другой, хотя до него они были абсолютно тождественны. Вот почему, учитывая психологию научного творчества, мы должны помнить о всех этих теориях и вот почему каждый приличный физик-теоретик знает шесть или семь теоретических обоснований одних и тех же физических фактов. Он знает, что они эквивалентны и что никто и никогда не сможет решить, оставаясь на этом же уровне, какая из этих теорий верна, но он помнит о них всех, надеясь, что это подскажет ему разные идеи для будущих догадок.

vpb в сообщении #1491101 писал(а):

Не знаю, что более вредно: то ли гоняться специально за несколькими разными доказательствами одного утверждения, то ли их преднамеренно игнорировать в случае чего.

"Полезно" это не значит "гоняться специально". А если вы согласны с тем, что "преднамеренно игнорировать" их неправильно, то тогда я не вижу особых противоречий в наших мнениях.