Равномощность и отношение эквивалентности в книжке Зорича

[Whitaker]

Я читаю книжку В.А.Зорича (часть первая) и хотел бы уточнить один момент.

Предположим, что $X$ и $Y$ произвольные множества. Подмножество $R\subset X\times Y$ называется отношением на $X\times Y$. Если $(x,y)\in R$, то тогда будем обозначать это как: $xRy$.

Отношение на $X\times X$ называется отношением эквивалентности, если следующие три свойства выполнены:
1. Рефлексивность. Для любого $x\in X$ $\Rightarrow$ $xRx$.
2. Симметричность. Если $x_1Rx_2$ $\Rightarrow$ $x_2Rx_1$.
3. Транзитивность. Если $x_1Rx_2$ and $x_2Rx_3$ $\Rightarrow$ $x_1Rx_3$.

В случае отношения эквивалентности вместо записи $xRy$ мы будем писать $x\sim y$ и эти свойства могут быть записаны так:

1. Рефлексивность. Для любого $x\in X$ $\Rightarrow$ $x\sim x$.
2. Симметричность. Если $x_1\sim x_2$ $\Rightarrow$ $x_2\sim x_1$.
3. Транзитивность. Если $x_1\sim x_2$ and $x_2\sim x_3$ $\Rightarrow$ $x_1\sim x_3$.

Определение: Мы будем говорить, что множество $A$ равномощно множеству $B$ если существует биективное отображение из $A$ в $B$.

Очевидно, что это является отношением эквивалентности и мы можем обозначать это как $A\sim B$ вместо записи $ARB$.

Вопрос: Да, я почти согласен, но есть один момент, который меня смущает. В определении отношения эквивалентности у нас есть "большое" множество $X$ и $R\subset X\times X$. Что будет этим множеством $X$ в нашем случае? В определении равномощных мноежств мы не можем взять $X$ - множество всех множеств так как данное $X$ не будет множеством.

Может ли кто-нибудь объяснить это на простом языке? Я не являюсь специалистом по мат логике. Так что простой и содержательный ответ будет весьма кстати.

[Padawan]

На любом множестве множеств равномощность является отношением эквивалентности.

[Xaositect]

Да, здесь действительно есть несоответствие и Вы его правильно заметили. Для того, чтобы ввести отношение равномощности множеств как отношение, то есть подмножество декартова произведения, нам нужно множество всех множеств, а его не бывает.
Тем не менее, равномощность можно рассматривать как "большое отношение": для любых двух множеств можно сказать, равномощны они или нет, и свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности выполняются, с заменой квантора "для любого элемента множества $X$" на квантор "для любого множества". При рассуждениях, которые просто оперируют свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, никакого отличия между отношениями на $X$ и "большими отношениями" нет, поэтому разницу между ними обычно пытаются замести под ковер. Но конечно, если попытаться рассматривать совокупности "больших отношений", можно нарваться на парадоксы похожие на парадокс множества всех множеств.
Формализовать это можно по разному, проще всего так: в каждой конкретной задаче мы рассматриваем отношение равномощности только между элементами некоторого конкретного (определенного в контексте этой задачи) семейства множеств $X$, и на $X \times X$ отношение равномощности будет честным отношением.