РАЗМЫШЛЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ ПРИРОДЫ ИЛИ ПОЧЕМУ В ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ НЕТ АКСИОМЫ ПРОТЯЖЕННОСТИ (МЕТРИКИ)?
Евклид утверждает, что у него есть неопределяемое понятие точка. Представление о точке можно получить, если взять объект конечных размеров, а потом устремить его размеры к нулю. Но в аксиоматике геометрии (здесь и везде дальше евклидовой) нет понятия объекта конечных размеров. Для того чтобы аксиоматика была строгой необходимо показать объект в натуральном виде, и каждый раз проводить сравнение, иначе мы утонем в спорах. Как с помощью аксиом мы различаем две точки, откуда мы знаем, что между ними есть нечто, делающее эти точки разными? Никак. Как с помощью аксиом мы узнаем, что этот отрезок бесконечно мал, а тот имеет конечные размеры? Никак.
Вы скажете, что этих вопросов нет в практической геометрии. Действительно, нет. А почему? Кто их решает, кто отвечает на вопросы? На все эти вопросы отвечают мерные деления на линейке. Когда мы с помощью делений отличаем две точки, то говорим, что они разные, и между ними отрезок конечной протяженности, равный числу делений. Очень малые протяженности мы воспринимаем как нулевые, или точки. Эти деления разные у портного и физика, но ни первый, ни второй не могут обойтись без них. Почему для столь важного понятия как протяженность нет ни аксиомы, ни даже упоминания о проблеме.
Все дело в том, что понятие протяженности конечно, а пространство подразумевается непрерывным, допускающим бесконечное деление. Поэтому даются все аксиомы, не противоречащие континууму, а линейка с делениями (образец протяженности) молча достается из тумбочки, которая находится в нашем реальном мире и до конца не известно, какой он - непрерывный или дискретный. Эти крамольные мысли Риман высказывал задолго до меня, а древнегреческие мыслители, задолго до Римана. Если обращать внимание на этот парадокс то, что это меняет?
Для нас ничего, но сразу возникает вопрос, как для себя решает проблему метрики природа? Ведь от того, насколько близко мы подойдем к этому ее решению, зависит понимание почти всех вопросов механики. Или непонимание. Как природа узнает, что ближе, а что дальше. Но прежде чем решать проблему ближе - дальше, необходимо иметь образец прямой линии, иначе не сформулируешь и понятие ближе - дальше. Мы понятие о прямой линии берем у природы, а она где? Как тело, движущееся по инерции, узнает, что оно движется именно по прямой линии?
Эти вопросы побудили меня искать пространство, которое могло бы обходиться без магазина канцтоваров, пространство в котором была бы ясность. А возможно ли в принципе пространство, содержащее внутри себя и прямую линию, и меру протяженности? Когда начинаешь искать, то не знаешь, но успокаивает то, что ничего не надо выдумывать, что все уже решено и найдено, нужно только понять, как это сделала природа.
Квантом мы называем нечто неделимое, например единицу из натурального ряда (1,2,3,..). Любое число из натурального ряда состоит из единиц. Для кучи песка квантом является песчинка. В механике из квантов могли бы состоять энергия, пространство, время, но пока нет убедительных подтверждений для такой возможности. Как нет и обратного – убедительного подтверждения непрерывности энергии или пространства.
Если предположить пространство, состоящим из квантов, то квант окажется внутренней мерой, а прямая линия кратчайшим расстоянием между двумя квантами. Точек там нет. Если кванты трехмерны, то и мир будет трехмерным. Все это можно получить компьютерным моделированием, начните с двухмерного случая, а плоское оно или с кривизной, покажет проверка на изотропность и однородность его свойств.
Если свойства пространства окажутся неодинаковыми в разных направлениях, то можно связать это с кривизной, но совсем не обязательно, вполне подойдет и старое доброе понятие плотности. Такое пространство получается, если выстраивать его из правильных фигур, например, квадратов или равносторонних треугольников. А уж если браться за простейшее (изотропное и однородное или евклидово), то не забудьте расположить кванты пространства хаотично, отказавшись от правильных фигур, иначе ничего не получится.
******************* Надписи внутри рисунка-схемы, если графика откажет **********************
Квантовое пространство из правильных фигур (слева) не может быть изотропным. Путь из кванта (1,1) в (6,1) составляет 5 шагов. Путь из кванта (1,1) в (6,6) составляет 10 шагов. Их отношение равно 2, а для изотропного пространства должно быть 1,41. Такое пространство формально можно трактовать, как имеющее кривизну, и ею объяснять отсутствие изотропности в разных направлениях.
Рис 1. Справа показано изотропное пространство из хаотично расположенных квантов. Путь по вертикальному катету (треугольник обозначен пунктиром) составляет 16 шагов (число пересечений смежных сторон). Путь по горизонтальному катету составляет 15 шагов. Путь по гипотенузе – 22 шага. (15*15+16*16=481) что приблизительно равно (22*22=484). Попробуйте пройтись по квантам так, чтобы их число было менее того, которое задает прямая. Конечно, на таком малом числе квантов, можно получить все что угодно. Для устойчивых результатов необходимы миллионы шагов. Но понять, что такое дискретное пространство и как оно строится, можно и на малом числе квантов.
*************************************************************************************************************
Если предположить, что у природы есть нечто похожее, то важен ли абсолютный размер кванта? Нет, любая протяженность кратна не размерам, а шагам, или целому числу квантов. Кванты не обязаны быть одинаковыми, на миллионах шагов достаточно их приближенного равенства. А форма кванта, как она влияет на результат? Никак, важно только, чтобы она обеспечивала их хаотичное расположение. Кто же откажется от такого пространства?
Здесь мне не совсем понятен парадокс – простые правильные фигуры для квантов пространства не могут обеспечить свойств изотропности и однородности пространства. Мы ведь все время считали, что нет ничего проще, чем евклидово пространство. А так ли это на самом деле? Мы изо всех сил надували щеки, пытаясь разглядеть или придать пространству кривизну, а оказывается, она получается сама собою. Трудно ее избежать, трудно выстроить пространство без нее. Возможно, Ньютон был прав, когда полагался на пространство природы, и не пытался здесь ничего придумывать. Возможно, ему было известно, что ничего лучше не придумаешь, потому что неоднородных и неизотропных пространств можно придумать бесконечное множество, выстраивая мозаики из комбинаций правильных фигур, а однородное и изотропное – одно единственное.
В обосновании предпочтительности квантового пространства для природы оказался достаточным сколько-нибудь серьезный анализ оснований любого пространства. Анализ, не прячущий голову в песок, когда задается вопрос: «Откуда у пространства берется прямая линия и метрика»? А как же быть с «Основаниями геометрии»? Там вопрос о происхождении прямой линии не рассматривается. Считается, что она существует, как новогодний подарок под елочкой. Вместе с метрикой пространства.
