О "неберущихся" интегралах

[genk]

Здравствуйте. Мой вопрос касается "неберущихся" интегралов (в дальнейшем без кавычек).
Хорошо известно, что \int \frac{x}{\ln x}\,dx неберущийся, однако \int \frac{\ln x}{x}\,dx легко берется подстановкой. Интеграл \int \frac{\sin x}{x}\,dx тоже неберущийся, но как доказать,что \int \frac{x}{\sin x}\,dx также не берется в элементарных функциях.
Можно, конечно, свести его к дилогарифму следующим образом: \int \frac{x dx}{\sin x} = \int \frac{2ix}{e^{ix}-e^{-ix}}\,dx = \frac{i}{2} Li_2(e^{2ix})-2(i Li_2(e^{ix})+x \arctg(e^{ix}))+C (указано одним московским математиком). Но это не совсем то, что хочется. Можно ли непосредственно доказать, что указанный интеграл не берется, сведя его к интегралу от $\sin(x)/x$ без выхода в комплексную плоскость? Мне это не удалось.
Кстати, предварительно надо доказать, что интеграл от $\sin(x)/x$ тоже неберущийся. В стандартных учебниках уже 100 лет этого не найдешь. Есть, правда, одна книга: Г.Х а р д и, Интегрирование элементарных функций, но доступ к ней получить также не удалось.

[g______d]

На эту тему много литературы, см. по ссылкам в следующих статьях:

https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville ... al_algebra)

https://en.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm

[nnosipov]

genk в сообщении #1489920 писал(а):

Есть,правда,одна книга: Г.Х а р д и, Интегрирование элементарных функций,но доступ к ней получить также не удалось.

Нашел за пару минут на libgen.

[novichok2018]

Хорошие наши старые книги по теме Тимофеева, Тихомадрицкого (Тихомандрицкого). С Риша начинается современная теория.

[Евгений Машеров]

nnosipov в сообщении #1489922 писал(а):

Нашел за пару минут на libgen.

Только надо искать на "Гарди".

(Оффтоп)

...сказал Ватсон Уотсону...

[nnosipov]

Я набрал Hardy. В наше время не найти какую-нибудь классическую книжку --- это как решить интеграл.

Кстати, о птичках: можно еще посмотреть статью Прасолова в "Математическом просвещении" (вып. 7, 2003). Последний пример в ней как раз посвящен неэлементарности интегрального синуса. Ну и в список литературы имеет смысл заглянуть, особенно [7] (там, скорее всего, тоже вариант элементарного изложения).

[genk]

Благодарю всех участников форума, откликнувшихся на мое сообщение. Отвечаю всем сразу.
1. Алгоритм Риша не имеет отношения к рассматриваемому вопросу, т.к. им не докажешь неэлементарность интегрального синуса.
2. Отдельная благодарность за ссылку на Гарди-я действительно "за пару минут" скачал книгу Г.Харди, в которой нашел доказательство неэлементарности целого класса функций \int R(x,\sin{x},\cos{x})\,dx, где R-рациональная функция, откуда сразу вытекает ответ.
3. Кстати, о птичках. Я прочел статью Прасолова, очень понравилась-методы дифференциальной алгебры (при доказательстве теорем Лиувилля) как-то мне ближе по духу, хотя уступают в общности результатам Харди (доказательство проходит для \int \frac{\sin{x}}{x}\,dx, но не проходит для \int \frac{x}{\sin{x}}\,dx).
В общем, тема закрыта. Еще раз всем спасибо.