Обозначение линейного преобразования

[Vladimir Pliassov]

Кто знает, как получить такое начертание буквы $A$ для обозначения линейного преобразования, как здесь (в начале статьи)?

http://mathhelpplanet.com/static.php?p= ... ostranstva

[nnosipov]

Вот так: ${\cal A}$. Но это не относится к математике, это $\TeX$.

[Vladimir Pliassov]

nnosipov в сообщении #1489346 писал(а):

Вот так: ${\cal A}$. Но это не относится к математике, это $\TeX$.

Спасибо!

Если речь идет о линейном преобразовании и, соответственно, о его матрице, то хотелось бы обозначить их по-разному, например, $\cal A$ и $A$.

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1489348 писал(а):

Если речь идет о линейном преобразовании и, соответственно, о его матрице, то хотелось бы обозначить их по-разному

А вот это уже математика.

[Vladimir Pliassov]

nnosipov в сообщении #1489349 писал(а):

А вот это уже математика.

Вздох облегчения! А то я думал, опять что-то не так!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «TeXнические обсуждения»

[arseniiv]

Vladimir Pliassov
А если матрицы обозначать например с помощью индексной нотации, то можно будет вполне использовать одну и ту же букву: $A$ — оператор, $A^i {}_j$ — элемент матрицы на $i$-й строке и $j$-м столбце; но мы можем понимать $i, j$ как немые буквы, пробегающие все возможные значения, например вместо $M = M^T$ написав $M^i {}_j = M^j {}_i$ [подразумевается: для всех $i, j$, для которых равенства осмысленны]. Отпадает нужда писать матрицы в произведении в определённом порядке, а если ещё использовать традиционное «соглашение Эйнштейна о суммировании», то произведения множества матриц будут выглядеть вообще замечательно: $(ABC)^i {}_j = A^i {}_k B^k {}_\ell C^\ell {}_j$ — если индекс попадается в произведении два раза, то подразумевается, что это произведение просуммировано по всем возможным значениям того индекса. Ещё тут можно поменять порядок множителей, так как индексы расскажут всё необходимое, но часто удобно его «нормализовать» на старте и финише, чтобы легче было заменить это на обычную компактную запись, в которой порядок важен.

В индексной записи ещё и легко использовать индексы как индикатор того базиса, в котором интересует матрица, например штрихуя индексы для одного из них. (Более того, можно будет легко обозначить матрицу отображения в двух базисах, «входном» и «выходном», понятным образом — просто один индекс взять ассоциируемый с одним базисом, а другой — с другим. Матрицы перехода от базиса к базису — это например просто матрицы единичного оператора $\delta^i {}_{i'}$ для двух этих базисов, и с таким подходом им не придётся придумывать особых обозначений и запоминать кто откуда куда.) Получение матрицы оператора из матрицы в другом базисе запишется с учётом этого всего так: $A^{i'} {}_{j'} = \delta^{i'} {}_i A^i {}_j \delta^j {}_{j'}$. Совершенно ничего не надо запоминать, всё механически пишется.

Наконец, если использовать именно различающиеся верхние и нижние индексы (как в этом посте), а не просто одинаковые ($A_{ij}$ и т. д.), то легко будет перейти к абстрактной индексной записи и всяким тензорным штукам. (В абстрактной записи индексы воистину немые, а вместо суммы по повторяющимся индексам имеется в виду свёртка, определяемая чисто алгебраически.) Такое различие например даёт нам ясно видеть, что транспонирование матрицы $M^i {}_j \mapsto M^j {}_i$ либо требует скалярного произведения, которое в той же физике как раз обычно используют неявно для поднимания и опускания индексов:

$$M^j {}_i = M^{jk} g_{ki} = g^{j\ell} M_\ell {}^k g_{ki}$$

(такое делает с линейным отображением транспонирование его матрицы, если считать, что и до, и после она записана для одного и того же ортонормированного базиса), либо требует поменять местами пространства векторов и ковекторов (таким образом поменять все верхние индексы на нижние и наоборот) и получить матрицу сопряжённого отображения. (Однако было бы проще оставить матрицу как есть и просто умножать её на строку, соответствующую ковектору, а не столбец. Это одно из упрощений индексной записи по сравнению с обычной (если только не применять ковекторы к матрице слева), где одна и та же буква, обозначающая одновременно и «прямое» линейное отображение, и двойственное к нему, часто приведёт к путанице. С другой стороны $A^i {}_j$ строго говоря обозначает не совсем линейное отображение, а (1, 1)-тензор, и как раз то, что есть несколько естественных изоморфизмов с линейными отображениями, иногда как раз наоборот неудобно, даже если запретить себе менять порядок индексов.)

Я тут многое опустил, потому что лучше знакомиться с деталями по другим источникам. (Например что $\delta^{i'} {}_i$ и $\delta^i {}_{i'}$ — это действительно две обратные друг другу матрицы, как мы и привыкли в формуле перевода матрицы из базиса в базис — и что это легко выяснить, потому что если умножить их друг на друга, мы получим матрицу единичного оператора в одном базисе, так что матрицы-множители по определению обратны.)

[Vladimir Pliassov]

arseniiv

Большое спасибо за ценную информацию, надеюсь со временем усвоить ее в полном объеме.

У меня есть один вопрос, который меня давно занимает, хотя он и не принципиальный, он касается того, что

arseniiv в сообщении #1489413 писал(а):

$A^i {}_j$ — элемент матрицы на $i$-й строке и $j$-м столбце

Разве не было бы естественнее, если бы столбцы обозначались сверху, а строки снизу? Правда, это мое субъективное ощущение, но, может быть, не только мое?

То, что строки сверху, а столбцы снизу, было назначено произвольно или к этому есть конструктивный резон?

[arseniiv]

Верхние и нижние — насколько знаю, просто исторически так сложилось, что для компонент вектора верхний, для компонент ковектора нижний, и для тензоров большего ранга в соответствии с этим контравариантные индексы верхние и ковариантные нижние. Возможно сыграло роль, что мы записываем элементы базиса как $e_1, e_2, \ldots$ — и тогда мы можем записать разложение вектора по базису, «взяв в оборот» соглашение о суммировании пар индексов, потому что один при этом должен быть верхним, а другой нижним: $v = e_i v^i$. Векторы двойственного $e_1, e_2, \ldots$ базиса получают верхние индексы и мы тогда можем также записать вычисление одной из координат вектора: $v^i = e^i v$ (только в этой записе уже важно, что ковектор — функция $e^i$ применяется к $v$, и обычно их порядок уже не меняют в отличие от других применений индексной записи). А если бы мы придали векторам нижний индекс, так единообразно бы не вышло.

Писать индекс строки перед индексом столбца тоже наверно исторически. Вероятно (не проверял — всё может быть куда хитрее и разнобойнее), индексы у констант в системе линейных уравнений начали писать сначала строчный, потому что при письме и чтении новые строки начинаются реже, чем новые столбцы. Дополнительная причина при текущих обозначениях в том, что получается ровненько $(AB)_{ij} = A_{ik} B_{kj}$ вместо $(AB)_{ij} = A_{kj} B_{ik} = B_{ik} A_{kj}$. Если бы мы предпочитали записывать координаты векторов в строку, а не в столбец, ну или хотя бы записывать применение отображения к вектору как $vA$ вместо $Av$, то нам стало бы удобнее в связи с этим начинать с индекса столбца.

Наконец, при сочетании соглашения верхних и нижних индексов и соглашения о порядке строчного и столбцового (который для произвольных тензоров уже теряет смысл, но ведь всё же насколько часто мы имеем дело с линейными операторами! и плюс соглашение о записи $Av$ вместо $vA$ работает и без рисования матрицы со строками и столбцами) мы получаем то, что у меня: $A^i {}_j$, где $i$ — строчный индекс и одновременно (возможно абстрактный) контравариантный индекс, а $j$ — столбцовый ковариантный. А, ну и применение линейного отображения к вектору в индексной записи кстати будет $(Av)^i = A^i {}_j v^j$, хотя его можно получить из аналогии с умножением матриц/операторов.

[provincialka]

Pphantom в сообщении #1489357 писал(а):

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «TeXнические обсуждения»

Похоже, она вернулась в (М) .

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «TeXнические обсуждения» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: а вот не надо задавать разные (и разнотипные) вопросы в одной теме. Ладно, поехали обратно.

[Vladimir Pliassov]

arseniiv

Опять большое спасибо!