2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Olympiad inequality 1
Сообщение19.10.2020, 15:15 


01/08/19
95
Let $a_{k}\geq1$, prove that:
$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(1+a_{k})\geq\frac{2^{n}}{n+1}\left(1+\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Olympiad inequality 1
Сообщение19.10.2020, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
rsoldo в сообщении #1487915 писал(а):
Let $a_{k}\geq1$, prove that:
$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(1+a_{k})\geq\frac{2^{n}}{n+1}\left(1+\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right).$

Не доказать, т.к. утверждение неверное.
(За счёт $a_n$ правая часть может быть сколь угодно большой.)

При $a_1= \dots , a_n=1$ верно, а при больших - тем более.

 Профиль  
                  
 
 Re: Olympiad inequality 1
Сообщение19.10.2020, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Наверное, слева имелось в виду $\displaystyle\prod_{k=1}^\mathbf{n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Olympiad inequality 1
Сообщение21.10.2020, 12:42 


01/08/19
95
Yes, my mistake! Shoulde be:
$$\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1+a_{k})\geq\frac{2^{n}}{n+1}\left(1+\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right).$$

P.S. I replaced with another Problem
$$\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(1+a^k)<\frac{1-a}{1-2a+a^n}.$$
I'm sorry :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Olympiad inequality 1
Сообщение21.10.2020, 15:34 
Заблокирован


16/04/18

1129
May be $0<a<1$, for large "a" not true.

 Профиль  
                  
 
 Re: Olympiad inequality 1
Сообщение24.10.2020, 15:11 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Обозначения:$$I_n=\prod \limits _{k=1}^{n}(1+a_k), I_{n,i}=\prod \limits _{k=1,k\ne i}^{n+1}(1+a_k),S_{n+1}=\sum \limits _{k=1}^{n+1}a_k,S_{n,i}=S_{n+1}-a_i, Q_{n+1}=\sum \limits _{k=1}^{n+1}a_k^2$$
Нужно доказать, что $I_n\geq \dfrac {2^n}{n+1}(1+S_n)\eqno (1)$.
Очевидно $I_{n+1}\geq 2I_{n,i}  \eqno (2).$ Доказываем по индукции. Для $n=1,2$ неравенство (1) справедливо. Пусть оно выполняется для всех $k\leq n$.(Отметим, что выполняются, конечно и неравенства $I_{n,i}\geq \dfrac {2^n}{n+1}(1+S_{n,i})=\dfrac {2^n}{n+1}(1+S_{n+1}-a_i)\eqno (5))$Тогда (с учетом (5)) :$$I_{n+1}=(1+a_i)I_{n,i}\geq \dfrac {2^n}{n+1}(1+S_{n,i}+a_i+a_iS_{n,i})=\dfrac {2^n}{n+1}(1+S_{n+1}+a_iS_{n+1}-a_i^2)\eqno (3)$$Просуммируем неравенства (3) по $i$ от 1 до $n+1:$$$(n+1)I_{n+1}\geq \dfrac {2^n}{n+1}(n+1+(n+1)S_{n+1}+S_{n+1}^2-Q_{n+1})=\dfrac {2^n}{n+1}(n+1+(n+1)S_{n+1}+2\sum \limits _{1\leq i<j\leq n+1}^{n+1}a_ia_j)$$Поскольку $2a_ia_j\geq a_i+a_j$, окончательно получим:$$(n+1)I_{n+1}\geq \dfrac {2^n}{n+1}(n+1+(2n+1)S_{n+1})\eqno (4)$$Выберем в неравенстве (5) в качестве $a_i$ число $a_0=\min (a_k)_{1\leq k\leq n+1}$ Сложим неравенства (2) и (4), и учтем неравенство (5) с выбранным $a_0$. Получим:$$(n+2)I_{n+1}\geq \dfrac {2^n}{n+1}(n+3+(2n+3)S_{n+1}-2a_0)$$Заметим, что в силу выбора $a_0, S_{n+1}-2a_0\geq n-1$, поэтому окончательно получим:$$(n+2)I_{n+1}\geq 2^{n+1}(1+S_{n+1})$$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Olympiad inequality 1
Сообщение25.10.2020, 10:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
rsoldo в сообщении #1488250 писал(а):
$$\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1+a_{k})\geq\frac{2^{n}}{n+1}\left(1+\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right).$$

Дифференцируем обе части по $a_n$, получаем верное неравенство
$$\prod_{k=1}^{n-1}(1+a_{k}) \geq\frac{2^{n}}{n+1} $$

-- Вс окт 25, 2020 12:06:33 --

novichok2018 в сообщении #1488296 писал(а):
May be $0<a<1$, for large "a" not true.
Да оно никогда не TRUE, так как правая часть может быть отрицательной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group