Равномерная сходимость ряда на множествах

[artempalkin]

Это задача из Кудрявцева, а именно глава 5, $\S$ 18, 34 (8) (непрозрачная нумерация - это, конечно, тяжело).

Исследовать ряд на равномерную сходимость на множествах:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1{\sqrt {nx}}\ln\frac {2x+n}{x+n}$, $E_1=(0;1)$, $E_2=(1;+\infty)$

В этих заданиях в целом подразумевается использование свойств функций и признака Вейерштрасса.

Например, на множестве $E_1$:

$\left|\frac 1{\sqrt {nx}}\ln\frac {2x+n}{x+n}\right|=\frac 1{\sqrt {nx}}\ln\left(1+\frac x{x+n}\right)<\frac 1{\sqrt {nx}}\frac x{x+n}=\frac {\sqrt x}{\sqrt n (x+n)}<\frac 1{n\sqrt n}$.

Из сходимости числового ряда справа следует равномерная сходимость исходного ряда на $E_1$ по признаку Вейерштрасса.

Но вот на $E_2$ что-то ничего не могу придумать... Подскажите, что можно сделать?

[alisa-lebovski]

Найти максимум.

[artempalkin]

alisa-lebovski в сообщении #1488451 писал(а):

Найти максимум.

Спасибо, но у меня получаются неприятные трансцендентные уравнения, и никаких перспектив их решения :(

[RIP]

Посмотрите, как ведут себя слагаемые, если $x$ порядка $n$. Дальше критерий Коши. Как для ряда $\sum\frac{\sin nx}{n}$.

[artempalkin]

RIP в сообщении #1488468 писал(а):

Посмотрите, как ведут себя слагаемые, если $x$ порядка $n$. Дальше критерий Коши. Как для ряда $\sum\frac{\sin nx}{n}$.

Да, вроде бы получается. Рассмотрим $x=n$, будем критерий Коши рассматривать сумму от $n$ до $2n$ (просто так удобнее):

$\left|\sum\limits_{k=n}^{2n}\frac 1{\sqrt{kn}}\ln\frac{2n+k}{n+k}\right|>\{$обе функции убывающие по $k$, заменяем каждое слагаемое последним$\}>(n+1)\frac 1 {\sqrt 2 n}\ln \frac 43>\frac 1{\sqrt 2}\ln\frac 43$

Спасибо большое! Вроде бы сработало, но, честно говоря, я не очень хорошо понимаю, почему сработало.

Подождите, но не означает ли это, что исходный ряд расходится в точке $x=n$? А ведь он сходится в любой точке, что легко проверить.

Что-то я в недоумении...

-- 22.10.2020, 16:35 --

Я понял, я неправильно почему-то интерпретировал критерий Коши... хмммм, но тогда я ничего не доказал...

[RIP]

Всё правильно — осталось это осознать.

artempalkin в сообщении #1488476 писал(а):

Подождите, но не означает ли это, что исходный ряд расходится в точке $x=n$?

Не означает: Вы оценили только одну сумму ($n$ фиксировано).

-- Чт 2020-10-22 18:01:39 --

То есть критерий Коши говорит, что если $N$ достаточно велико, то при любых $m\geqslant n\geqslant N$ и $x>1$ сумма $\sum_{k=n}^{m}\dotso$ должна быть мала. Вы показали, что это не так, например, для $n=N$, $m=2N$, $x=N$.

[artempalkin]

RIP в сообщении #1488505 писал(а):

Всё правильно — осталось это осознать.

Да, я осознал.

Чтобы критерий Коши для равномерной сходимости был верен, нужно, что для любого $\forall \varepsilon$ нашелся такой $N$, что для всех $n>N$, $\forall p$, $\forall x\in X$

$\left|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}f_k(x)\right|<\varepsilon$.

Если я задам маленький $\varepsilon$ и предположу, что такое $N$ существует, то уж заведомо вот это должно быть верно

$\left|\sum\limits_{k=n+1}^{2n}f_k(x)\right|<\varepsilon$.

Но, как оказалось, если я в этом выражении подставлю $x=n$, то получу конечное число, вовсе не меньше $\varepsilon$, которое я мог задать любым.

Правильно я размышляю?

[RIP]

artempalkin в сообщении #1488508 писал(а):

Правильно я размышляю?

Да.

[artempalkin]

RIP в сообщении #1488509 писал(а):

Да.

Спасибо большое! Думаю, с вашей помощью я глубже понял критерий Коши для равномерной сходимости