Ориентация векторов

[EminentVictorians]

В 1,2,3 - мерных пространствах векторов прямой, плоскости и пространства соответственно есть понятие положительно и отрицательно ориентированной $n$-ки векторов, где $n$ - размерность пространства (за исключением случаев нулевого, коллинеарных и компланарных векторов). Есть ли какое-то обобщение понятия ориентации для пространств произвольной размерности?

Понятно, что такое определение должно формулироваться для линейно независимых $n$-ок векторов $n$-мерных пространств (т.е. базисов этих пространств). Может быть тут потребуется какая-то дополнительная структура помимо структуры вещественного векторного пространства?

[mihaild]

Да, есть. Точнее есть понятие одинаково и противоположно ориентированных базисов. Определяется через определитель матрицы перехода - базисы ориентированы одинаково, если определитель матрицы перехода от одного к другому положителен.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1488480 писал(а):

Определяется через определитель матрицы перехода

А я хотел определитель определить через ориентацию Поэтому такое определение не подойдет. Можно как-то по-другому?

[mihaild]

Можно. А как вы хотите определитель определять тогда?
Ну и как определяется ориентация для трехмерного пространства?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1488490 писал(а):

А как вы хотите определитель определять тогда?

Как ориентированный объем $n$-мерного параллелепипеда, натянутого на эти $n$ векторов. Для того, чтобы это определение было корректным, надо знать, какие $n$-ки ориентированы положительно, а какие отрицательно.

mihaild в сообщении #1488490 писал(а):

Ну и как определяется ориентация для трехмерного пространства?

Там есть несколько эквивалентных определений. Например такое: тройка векторов $(a, b, c)$ ориентирована положительно, если поворот от $a$ к $b$ со стороны $c$ на угол, меньший $\pi$, происходит в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки).

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1488492 писал(а):

Как ориентированный объем $n$-мерного параллелепипеда, натянутого на эти $n$ векторов.

Это как-то совсем уж сложно - нужно вводить внутренность параллелепипеда и понятие объема...

EminentVictorians в сообщении #1488492 писал(а):

тройка векторов $(a, b, c)$ ориентирована положительно, если поворот от $a$ к $b$ со стороны $c$ на угол, меньший $\pi$, происходит в положительном направлении

А это строго переформулировать вряд ли получится без существенно большего объема линала, чем нужен для определения определителя.

Но ладно, можно строго определить одинаковую ориентированность и без матриц перехода. Возьмите множество невырожденных линейных преобразований $\mathbb R^n$, введите на нем естественную топологию и посмотрите на получающиеся компоненты связности.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1488492 писал(а):

тройка векторов $(a, b, c)$ ориентирована положительно, если поворот от $a$ к $b$ со стороны $c$ на угол, меньший $\pi$, происходит в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки)

Это не математическое определение. В математике нет "часовых стрелок". На самом деле есть две возможных ориентации, и совершенно произвольно одна из них называется "положительной", или "правой", а другая "отрицательной", или "левой". Студентам можно рассказывать про "часовые стрелки" или "пальцы правой (левой) руки", но это просто привязка к наглядности.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1488495 писал(а):

Это как-то совсем уж сложно - нужно вводить внутренность параллелепипеда и понятие объема...

Понятие объема есть. Внутренность определяется стандартно: объединение всех открытых подмножеств данного множества.

mihaild в сообщении #1488495 писал(а):

Возьмите множество невырожденных линейных преобразований $\mathbb R^n$, введите на нем естественную топологию и посмотрите на получающиеся компоненты связности.

Это сложновато для меня. Попробую по порядку. Есть множество невырожденных линейных преобразований. Оно вроде бы само образует векторное пространство относительно покомпонентных операций сложения и умножения на элементы поля, ведь так? Прежде чем идти дальше, надо этот момент закрыть.

Someone в сообщении #1488500 писал(а):

Это не математическое определение. В математике нет "часовых стрелок".

Я в основаниях не разбираюсь, но даже в той математике, с которой я знаком, подобные нематематические определения иногда встречаются. Раз речь идет про линейную алгебру, то можно взять понятие матрицы. Ее часто вводят как прямоугольную таблицу из элементов некоторого поля, хотя формально это отображение из декартова произведения двух начальных отрезков натуральных чисел в это поле. Я к тому, что формализовать часовые стрелки наверняка можно (и я подозреваю, что не сильно большими усилиями).

[vpb]

EminentVictorians в сообщении #1488482 писал(а):

А я хотел определитель определить через ориентацию

Поверьте: лучшее, что можно сделать в такой ситуации --- расхотеть данное желание, и четко разделять определения и наглядные объяснения. Тут первичные понятия (а) определитель, и (б) класс эквивалентности реперов относительно непрерывных деформаций. А утверждение, что есть ровно два класса реперов, и что два репера эквивалентны в точности тогда, когда определитель перехода от одного к другому положителен --- это теорема (см. П.С.Александров, Лекции по аналитической геометрии (1968), гл.9, пар.1. ) А ориентация пространства -- это произвольный выбор одного из этих двух классов. А если пытаться брать понятие ориентации в качестве первичного --- ничего доброго из такого намерения не выйдет.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1488512 писал(а):

Внутренность определяется стандартно: объединение всех открытых подмножеств данного множества

Какого множества-то? Параллелепипед задается просто векторами (при большом желании - вершинами). Его выпуклость конечно упрощает дело, но всё равно там с объемом всё плохо будет...

EminentVictorians в сообщении #1488512 писал(а):

Оно вроде бы само образует векторное пространство относительно покомпонентных операций сложения и умножения на элементы поля, ведь так?

Нет, не так - например нет нейтрального по сложению элемента.
Но вам тут алгебраическая структура и не нужна, только топология.

EminentVictorians в сообщении #1488512 писал(а):

Я к тому, что формализовать часовые стрелки наверняка можно (и я подозреваю, что не сильно большими усилиями).

Можно, но большими. И скорее всего внутри будет как раз знак определителя.

[EminentVictorians]

Короче говоря, суть я понял. Отложу этот вопрос до лучших времен. Пока у меня подготовки не хватает. Благодарю всех, кто принял участие в обсуждении.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1488512 писал(а):

Я в основаниях не разбираюсь, но даже в той математике, с которой я знаком, подобные нематематические определения иногда встречаются.

Я много-много лет преподавал в техническом ВУЗе. Там именно такая математика. В аналитической геометрии речь идёт о евклидовом пространстве, которое по умолчанию рассматривается как модель "реального" пространства. Изложение сопровождается рисунками, которые явно или неявно соотносятся с какими-то объектами, расположенными в "реальном" пространстве. И здесь можно "определить" правую (левую) тройку векторов так, как Вы сказали, сославшись на часовую стрелку или на относительное расположение пальцев правой (левой) руки. Но согласитесь, что конкретное направление вращения стрелки часов или расположение пальцев руки — дело случая. Мы свободно могли бы пользоваться часами с противоположным направлением вращения стрелок или быть в большинстве не правшами, а левшами, и тогда столь же "естественно" мы могли бы "положительным" считать противоположное направление вращения, соответствующее "левой" системе координат.

Теперь предположим, что мы рассматриваем абстрактное трёхмерное линейное пространство. Предположим, что мы вообразили себе столь же абстрактные часы в том пространстве. В каком направлении у них стрелка вращается? Если смотреть с одной стороны, то направление вращения одно, если с другой — противоположное. Какую сторону предпочесть? Никаких разумных доводов не видно. Поэтому остаётся только произвольный выбор: одно (любое) направление объявляем положительным, а другое, соответственно, отрицательным.

[Slav-27]

EminentVictorians в сообщении #1488478 писал(а):

Есть ли какое-то обобщение понятия ориентации для пространств произвольной размерности?

Да. 2 базиса конечномерного вещественного векторного пространства называются одинаково ориентированными,

• (сложный вариант) если один можно непрерывно передвинуть в другой, всё время идя по базисам,
• (простой вариант) если задаваемые ими элементы старшей внешней степени нашего простнанства (она есть одномерное вещественное векторное пространство) отличаются на положительный множитель.

Ориентация сама по себе есть дополнительная структура (выбор класса базисов по отношению эквивалентности "соединяются непрерывным путём в пространстве базисов", либо выбор класса ненулевых элементов старшей внешней степени по отношению эквивалентности "отличаются на положительный множитель").

Если понятие объёма известно, то определитель можно определять через объёмы. Почитайте соответствующий параграф "Алгебры" Городенцева; там всё начинается с ориентированных объёмов, но при желании можно стартовать и с неориентированных.