2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 критерий непрерывности случайной величины
Сообщение21.10.2020, 17:18 


23/04/18
143
Добрый день!
Возник при изучении понятия непрерывности случайной величины возник следующий вопрос: каков явный критерий её непрерывности?
Пусть у нас имеется функция распределения случайной величины $F(x)$, которая к тому же является непрерывной, то есть $F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(z)dz$. Понятно, что в этом случае непрерывность $F(x)$ необходима, но в то же время недостаточна, иллюстрирующий пример недостаточности - кривая Кантора. Так же необходимо, чтобы $F(x)$ была почти всюду дифференцируемой, так как $f(x)=F'(x)$ всюду, где $f(x)$ непрерывна, а $f(x)$ должна быть непрерывной почти всюду по критерию Лебега, но этого также недостаточно и иллюстрирующий пример - та же кривая Кантора.
Каков же полный критерий непрерывности $F(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: критерий непрерывности случайной величины
Сообщение21.10.2020, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
Вы путаете непрерывность и абсолютную непрерывность. Распределение Кантора непрерывно. Распределение, имеющее плотность, абсолютно непрерывно.

 Профиль  
                  
 
 Re: критерий непрерывности случайной величины
Сообщение21.10.2020, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9542
Цюрих
Paul Ivanov в сообщении #1488317 писал(а):
функция распределения случайной величины $F(x)$, которая к тому же является непрерывной, то есть $F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(z)dz$
Из непрерывности функции распределения не следует, что она представима в таком виде.
В таком виде представимы абсолютно непрерывные функции. Распределения, для которых функции распределения представимы в таком виде (т.е. распределения, имеющие плотность) называются непрерывными (в английской традиции такие распределения называются абсолютно непрерывными, а непрерывными - с просто непрерывной функцией распределения; ИМХО это логичнее, но тут уже традиция такая).

 Профиль  
                  
 
 Re: критерий непрерывности случайной величины
Сообщение21.10.2020, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2752
Физтех
Paul Ivanov в сообщении #1488317 писал(а):
Каков же полный критерий непрерывности $F(x)$?

Есть разные формулировки, например теорема Банаха--Зарецкого о том, что непрерывная на отрезке функция является абсолютно непрерывной на этом отрезке тогда и только тогда, когда она имеет ограниченную вариацию на этом отрезке и обладает свойством Лузина. Но это выглядит довольно непрактично.

Вместе с тем, по-моему понятно, что если функция п.в.-дифференцируема и эта п.в.-производная $f(t)$ обладает свойством $$F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} f(t)dt,$$ то функция $F(x)$ абсолютно непрерывная и $f(t)$ -- это плотность.

 Профиль  
                  
 
 Re: критерий непрерывности случайной величины
Сообщение21.10.2020, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
mihaild в сообщении #1488323 писал(а):
(в английской традиции такие распределения называются абсолютно непрерывными, а непрерывными - с просто непрерывной функцией распределения; ИМХО это логичнее, но тут уже традиция такая).
Почему только в английской? В нормальной российской тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: критерий непрерывности случайной величины
Сообщение21.10.2020, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9542
Цюрих

(Оффтоп)

alisa-lebovski в сообщении #1488331 писал(а):
В нормальной российской тоже
У Ширяева и Колмогрова распределения, имеющие плотность, называются абсолютно непрерывными, у Гнеденко - просто непрерывными. У нас в курсе (не помню уже кто читал) тоже назывались непрерывными.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Brizon


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group