2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 критерий непрерывности случайной величины
Сообщение21.10.2020, 17:18 


23/04/18
143
Добрый день!
Возник при изучении понятия непрерывности случайной величины возник следующий вопрос: каков явный критерий её непрерывности?
Пусть у нас имеется функция распределения случайной величины $F(x)$, которая к тому же является непрерывной, то есть $F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(z)dz$. Понятно, что в этом случае непрерывность $F(x)$ необходима, но в то же время недостаточна, иллюстрирующий пример недостаточности - кривая Кантора. Так же необходимо, чтобы $F(x)$ была почти всюду дифференцируемой, так как $f(x)=F'(x)$ всюду, где $f(x)$ непрерывна, а $f(x)$ должна быть непрерывной почти всюду по критерию Лебега, но этого также недостаточно и иллюстрирующий пример - та же кривая Кантора.
Каков же полный критерий непрерывности $F(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: критерий непрерывности случайной величины
Сообщение21.10.2020, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Вы путаете непрерывность и абсолютную непрерывность. Распределение Кантора непрерывно. Распределение, имеющее плотность, абсолютно непрерывно.

 Профиль  
                  
 
 Re: критерий непрерывности случайной величины
Сообщение21.10.2020, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Paul Ivanov в сообщении #1488317 писал(а):
функция распределения случайной величины $F(x)$, которая к тому же является непрерывной, то есть $F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(z)dz$
Из непрерывности функции распределения не следует, что она представима в таком виде.
В таком виде представимы абсолютно непрерывные функции. Распределения, для которых функции распределения представимы в таком виде (т.е. распределения, имеющие плотность) называются непрерывными (в английской традиции такие распределения называются абсолютно непрерывными, а непрерывными - с просто непрерывной функцией распределения; ИМХО это логичнее, но тут уже традиция такая).

 Профиль  
                  
 
 Re: критерий непрерывности случайной величины
Сообщение21.10.2020, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Paul Ivanov в сообщении #1488317 писал(а):
Каков же полный критерий непрерывности $F(x)$?

Есть разные формулировки, например теорема Банаха--Зарецкого о том, что непрерывная на отрезке функция является абсолютно непрерывной на этом отрезке тогда и только тогда, когда она имеет ограниченную вариацию на этом отрезке и обладает свойством Лузина. Но это выглядит довольно непрактично.

Вместе с тем, по-моему понятно, что если функция п.в.-дифференцируема и эта п.в.-производная $f(t)$ обладает свойством $$F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} f(t)dt,$$ то функция $F(x)$ абсолютно непрерывная и $f(t)$ -- это плотность.

 Профиль  
                  
 
 Re: критерий непрерывности случайной величины
Сообщение21.10.2020, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
mihaild в сообщении #1488323 писал(а):
(в английской традиции такие распределения называются абсолютно непрерывными, а непрерывными - с просто непрерывной функцией распределения; ИМХО это логичнее, но тут уже традиция такая).
Почему только в английской? В нормальной российской тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: критерий непрерывности случайной величины
Сообщение21.10.2020, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих

(Оффтоп)

alisa-lebovski в сообщении #1488331 писал(а):
В нормальной российской тоже
У Ширяева и Колмогрова распределения, имеющие плотность, называются абсолютно непрерывными, у Гнеденко - просто непрерывными. У нас в курсе (не помню уже кто читал) тоже назывались непрерывными.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group