критерий непрерывности случайной величины

[Paul Ivanov]

Добрый день!
Возник при изучении понятия непрерывности случайной величины возник следующий вопрос: каков явный критерий её непрерывности?
Пусть у нас имеется функция распределения случайной величины $F(x)$, которая к тому же является непрерывной, то есть $F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(z)dz$. Понятно, что в этом случае непрерывность $F(x)$ необходима, но в то же время недостаточна, иллюстрирующий пример недостаточности - кривая Кантора. Так же необходимо, чтобы $F(x)$ была почти всюду дифференцируемой, так как $f(x)=F'(x)$ всюду, где $f(x)$ непрерывна, а $f(x)$ должна быть непрерывной почти всюду по критерию Лебега, но этого также недостаточно и иллюстрирующий пример - та же кривая Кантора.
Каков же полный критерий непрерывности $F(x)$?

[alisa-lebovski]

Вы путаете непрерывность и абсолютную непрерывность. Распределение Кантора непрерывно. Распределение, имеющее плотность, абсолютно непрерывно.

[mihaild]

Paul Ivanov в сообщении #1488317 писал(а):

функция распределения случайной величины $F(x)$, которая к тому же является непрерывной, то есть $F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(z)dz$

Из непрерывности функции распределения не следует, что она представима в таком виде.
В таком виде представимы абсолютно непрерывные функции. Распределения, для которых функции распределения представимы в таком виде (т.е. распределения, имеющие плотность) называются непрерывными (в английской традиции такие распределения называются абсолютно непрерывными, а непрерывными - с просто непрерывной функцией распределения; ИМХО это логичнее, но тут уже традиция такая).

[ShMaxG]

Paul Ivanov в сообщении #1488317 писал(а):

Каков же полный критерий непрерывности $F(x)$?

Есть разные формулировки, например теорема Банаха--Зарецкого о том, что непрерывная на отрезке функция является абсолютно непрерывной на этом отрезке тогда и только тогда, когда она имеет ограниченную вариацию на этом отрезке и обладает свойством Лузина. Но это выглядит довольно непрактично.

Вместе с тем, по-моему понятно, что если функция п.в.-дифференцируема и эта п.в.-производная $f(t)$ обладает свойством

$$F(x) = \int\limits_{-\infty}^{x} f(t)dt,$$

то функция $F(x)$ абсолютно непрерывная и $f(t)$ -- это плотность.

[alisa-lebovski]

mihaild в сообщении #1488323 писал(а):

(в английской традиции такие распределения называются абсолютно непрерывными, а непрерывными - с просто непрерывной функцией распределения; ИМХО это логичнее, но тут уже традиция такая).

Почему только в английской? В нормальной российской тоже.

[mihaild]

(Оффтоп)

alisa-lebovski в сообщении #1488331 писал(а):

В нормальной российской тоже

У Ширяева и Колмогрова распределения, имеющие плотность, называются абсолютно непрерывными, у Гнеденко - просто непрерывными. У нас в курсе (не помню уже кто читал) тоже назывались непрерывными.