физтех 2018 10 класс

[maxmatem]

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно,
что сумма расстояний от девяти последовательных натуральных чисел до некоторого числа $a$
равна $294$, а сумма расстояний от этих же девяти чисел до некоторого числа $b$ равна $1932$.
Найдите все возможные значения $a$, если известно, что $a + b = 25$

Ну собственно как решать то мне более менее понятно.
Есть парочка вопросов и уточнений.

Очевидно, что надо сначала понять, что числа $a,b$ не лежат в отрезке $[n;n+8]$ . (это не сложно, оцениваем расстояния)
Допустим мы доказали что эти числа находятся вне этого отрезка. Теперь посчитаем сумму расстояний от точки $a$ до этих чисел.

$$|a-n|+|a-(n+1)|+...+|a-(n+8)|=294$$

вот и вопрос, в официальном решении берется модуль от суммы этих разностей.......у меня ступор...

[Someone]

maxmatem в сообщении #1488244 писал(а):

в официальном решении берется модуль от суммы этих разностей.......у меня ступор...

maxmatem в сообщении #1488244 писал(а):

мы доказали что эти числа находятся вне этого отрезка.

"Вне этого отрезка" — это где?
А почему это в олимпиадном разделе?

[maxmatem]

Someone

значит число $a$ лежит правее или левее от концов этого отрезка

Цитата:

А почему это в олимпиадном разделе?

эта задача из олимпиады ФИЗТЕХ

[kikik]

В официальном решении содержится фундаментальная ошибка,а задача намного сложнее чем кажется на первый взгляд.

[maxmatem]

kikik
могли бы Вы более подробно пояснить ?
Я скажу в чем собственно у меня перекос.
Перекос в том , что в начале задания дается определение расстояния между точками. А именно что это модуль разности двух чисел.

Значит под суммой расстояний , надо понимать сумму модулей , но никак модуль суммы .

Потом на просторах инета нашел решение вообще которое не использует модуль.....

Короче , в чем я туплю ?

[kikik]

Да,именно в этом ошибка.У меня задача свелась к рассмотрению восьми случаев,но дальше рассматривать не хочется.

[12d3]

maxmatem в сообщении #1488244 писал(а):

вот и вопрос, в официальном решении берется модуль от суммы этих разностей.......у меня ступор...

А в каком случае сумма модулей нескольких чисел равна модулю их суммы?

[Someone]

maxmatem в сообщении #1488260 писал(а):

значит число $a$ лежит правее или левее от концов этого отрезка

А если точка $a$ лежит правее (левее) всего отрезка $[n,n+8]$, то что можно сказать о знаках разностей $a-k$ для всех $k\in[n,n+8]$? И потом можно вспомнить некоторые свойства абсолютной величины, которую ныне принято называть модулем.

-- Ср окт 21, 2020 14:23:08 --

kikik в сообщении #1488269 писал(а):

Да,именно в этом ошибка.У меня задача свелась к рассмотрению восьми случаев,но дальше рассматривать не хочется.

Эти $8$ случаев рассматриваются совершенно единообразно, и потому одновременно. В результате выясняется, что сумма имеет наибольшее значение на концах ($28$), а наименьшее — в центре отрезка, то есть, при $k=4$, а на каждом отрезке $[k,k+1]$ является линейной функцией.

[maxmatem]

Цитата:

то что можно сказать о знаках разностей $a-k$ для всех $k\in[n,n+8]$?

они положительные

-- Ср окт 21, 2020 15:28:28 --

Господи......простите за тупость

они же все положительные по этому сумма модулей равна модулю суммы

тему надо закрывать.

Всем спс

[kikik]

Someone в сообщении #1488273 писал(а):

maxmatem в сообщении #1488260 писал(а):

значит число $a$ лежит правее или левее от концов этого отрезка

А если точка $a$ лежит правее (левее) всего отрезка $[n,n+8]$, то что можно сказать о знаках разностей $a-k$ для всех $k\in[n,n+8]$? И потом можно вспомнить некоторые свойства абсолютной величины, которую ныне принято называть модулем.

-- Ср окт 21, 2020 14:23:08 --

kikik в сообщении #1488269 писал(а):

Да,именно в этом ошибка.У меня задача свелась к рассмотрению восьми случаев,но дальше рассматривать не хочется.

Эти $8$ случаев рассматриваются совершенно единообразно, и потому одновременно. В результате выясняется, что сумма имеет наибольшее значение на концах ($28$), а наименьшее — в центре отрезка, то есть, при $k=4$, а на каждом отрезке $[k,k+1]$ является линейной функцией.

Спасибо ,я решал задачу исходя из того,что сумма модулей-максимальное значение суммы выражений при произвольной расстановке их знаков.

[EUgeneUS]

maxmatem в сообщении #1488275 писал(а):

они положительные

maxmatem в сообщении #1488275 писал(а):

тему надо закрывать.

нельзя закрывать. Так вы три из четырех вариантов потеряете.

[maxmatem]

EUgeneUS

Цитата:

нельзя закрывать. Так вы три из четырех вариантов потеряете.

остальные случаи я разберу

у меня именно проблема была из -за непонимания которое я выше описал. Да тут и по другому можно задачку то решать.....

[Someone]

maxmatem в сообщении #1488275 писал(а):

Цитата:

то что можно сказать о знаках разностей $a-k$ для всех $k\in[n,n+8]$?

они положительные

Либо все положительные, либо все отрицательные. В общем, одного знака. А в этом случае сумма модулей равна модулю суммы.