Квадрат суммы (осторожно - возможно тупой вопрос)

[arseniiv]

bayah в сообщении #1486863 писал(а):

Мне не понятно почему геометрический случай говорит о числах вообще.

Предполагается, что точки любой прямой взаимно однозначно можно сопоставить множеству вещественных чисел $\mathbb R$ (хоть и не единственным образом) так, чтобы расстояние между двумя точками соответствовало модулю разности соответствующих им чисел. Предполагается так же, что площади фигур* можно взаимно однозначно (и уже единственным образом) сопоставить $[0; +\infty)$ так, чтобы например площадь квадрата со стороной 1 была равна 1. Тогда наши утверждения о площадях и длинах отрезков начинают говорить об $\mathbb R$. И ещё можно ввести ориентированные площади и сопоставить их уже всем вещественным числам. Тогда можно обойтись одним построением (если строить такие фигуры, для которых определена ориентированная площадь) чтобы доказать квадрат суммы.

Вообще не обязательно сопоставлять прямые прям самому $\mathbb R$ — логичнее говорить, что на них можно ввести $\mathbb R$-линейную структуру (или ещё лучше аффинную над $\mathbb R$-линейным пространством $V$) (всё одномерное). Правда тогда площади тоже будут естественным образом не числами, а лежать в $V\otimes V$ (как следствие тоже одномерном). Естественным образом получаем способ говорить о единицах измерения и всём таком. А если вдруг у нас появится естественная единица измерения, все эти вещи совершенно механически опять обратятся в $\mathbb R$ (но не появится, это вредно: без неё мы не можем складывать длины с площадями и с числами**, и это здорово).

* Не вообще всех фигур, а только имеющих площади; для элементарного курса можно ограничиться сначала лишь простыми (односвязными) многоугольниками и всевозможными их конечными объединениями (допустив таким образом и неодносвязные и несвязные «многоугольные фигуры»).

** Кроме рассмотрения формальных сумм, в элементарной геометрии вроде как бесполезных.

-- Вт окт 13, 2020 00:44:55 --

Вообще не думайте, что школьный учебник элементарной геометрии излагает вам какие-то чётко описанные основания. Это вредное занятие, основания вон в линейной алгебре и аналитической геометрии («высокой») можно поискать. И там уже будут заложены в основу те или иные числа в качестве скаляров. Школьный учебник — первое приближение, но далеко не последнее, и если возникают проблемы с соотнесением строгости изложения его и чего-то ещё, то может быть виноват именно он и его пора сменить на что-то более глубокое и подробное.

[Someone]

bayah в сообщении #1486863 писал(а):

Мне не понятно почему геометрический случай говорит о числах вообще.

Л. С. Понтрягин. Непрерывные группы. "Наука", Москва, 1973.

Глава 1, § 7, пример 16. Показано, что всякая проективная геометрия размерности $n\geqslant 3$ является проективной геометрией над некоторым телом. Тело будет полем, если выполняется теорема Паскаля для шестиугольника, вписанного в распадающуюся кривую второго порядка. Для доказательства существенна теорема Дезарга, которая в размерности $n\geqslant 3$ выполняется автоматически. В размерности $n=2$ есть недезарговы геометрии, но для дезарговых соответствующее тело строится.

[bayah]

arseniiv в сообщении #1486898 писал(а):

Предполагается, что точки любой прямой взаимно однозначно можно сопоставить множеству вещественных чисел $\mathbb R$ (хоть и не единственным образом) так, чтобы расстояние между двумя точками соответствовало модулю разности соответствующих им чисел. Предполагается так же, что площади фигур* можно взаимно однозначно (и уже единственным образом) сопоставить $[0; +\infty)$ так, чтобы например площадь квадрата со стороной 1 была равна 1. Тогда наши утверждения о площадях и длинах отрезков начинают говорить об $\mathbb R$.

Ну хорошо. Допустим мы сопоставили площадям вещественные числа, но применительно к изначальному вопросу, что именно нам позволяет сделать вывод о тождестве $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ?
Нужно ведь понять, что эти составные площади укладываются ровно в большой квадрат, или что то же самое, что большой квадрат можно разбить на такие составные площади на плоскости. Это вот откуда берется? Я так понимаю из какого-то аспекта Евклидовой геометрии, о представлении прямой, плоскости,...

Опять таки, я понимаю что в алгебраической форме эта формула выводится только из дистрибутивности. В случае же геометрического представления, мне не понятно как эта дистрибутивность там проявляется. Как писали тут выше, что мол при сопоставлении вещественных чисел прямой это свойство дистрибутивности "переходит" в свойство прямой и, как я понимаю, именно за счет этого в геометрическом виде так же возможно сделать умозаключение о квадрате суммы. Иначе говоря, если бы не было этой дистрибутивности у вещественных чисел, то и построенное на их основе соответствие прямой, площади и в итоге построенная таким геометрия не позволила бы получить формулу квадрата суммы. Могли бы вы объяснить как именно дистрибутивность вещественных чисел проявляется и необходима в геометрическом рассуждении относительно формулы квадрата суммы?
Если же дистрибутивность не используется в этом геометрическом рассуждении, то значит что-то иное, может от геометрических аксиом, позволяет сделать такое умозаключение о квадрате суммы. Но такое геометрическое свойство не имеет отношения непосредственно к вещественным числам, а значит и тождество квадрата суммы полученное из геометрических рассмотрений верно применительно именно к геометрии, а для вещественных чисел вообще - не верно.

-- 20.10.2020, 15:43 --

Someone в сообщении #1486940 писал(а):

Л. С. Понтрягин. Непрерывные группы. "Наука", Москва, 1973.

Я не достаточно знаком со всеми этими понятиями и областями чтобы понять все это сразу.
Это необходимый тот уровень погружения в основы на котором и проясняется ответ на мой вопрос?

[Someone]

bayah в сообщении #1488032 писал(а):

Это необходимый тот уровень погружения в основы на котором и проясняется ответ на мой вопрос?

В указанном месте объясняется, как, используя простые построения линейкой, определить на прямой арифметические операции (сложение и умножение) и доказать все их свойства. Проясняет ли это ответ на ваш вопрос, и насколько глубоко в это надо погружаться — решать Вам. Лично я в подобной ситуации заглянул бы в рекомендованную книгу хотя бы из любопытства.

[arseniiv]

bayah в сообщении #1488032 писал(а):

Ну хорошо. Допустим мы сопоставили площадям вещественные числа, но применительно к изначальному вопросу, что именно нам позволяет сделать вывод о тождестве $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ?
Нужно ведь понять, что эти составные площади укладываются ровно в большой квадрат, или что то же самое, что большой квадрат можно разбить на такие составные площади на плоскости. Это вот откуда берется? Я так понимаю из какого-то аспекта Евклидовой геометрии, о представлении прямой, плоскости,...

Да, чтобы формально доказать, что какая-то фигура разбивается на несколько других, школьного уровня элементарной геометрии может не хватить (это прикидочно). Тут продуктивно попробовать reverse mathematics: что нам потребуется, чтобы сделать вывод? Какие расположения фигур кроме интересующего допускаются какими описаниями?

Можно идти например так. Давайте для начала ограничимся прямоугольниками, раз они нам только и нужны. Определим площадь со знаком для ориентированного прямоугольника, чтобы меньше беспокоиться о расположении точек.

Назовём ориентированным прямоугольником прямоугольник вместе с циклическим порядком его вершин. Циклический порядок — это отображение $f$ из вычетов $\pmod 4$ в вершины такое, что $f(m)$ и $f(m + 1)$ дают соседние вершины, и притом понимаемое с точностью до прибавления к вычетам константы (это и даёт «цикличность» порядка). Заметим, что для невырожденного прямоугольника возможно две разных ориентации, условно $ABCD$ и $DCBA$, а для вырожденного одна — $AABB$ или даже $AAAA$. Будем говорить, что ориентированные прямоугольники конгруэнтны, если собственной изометрией (представимой как композиция чётного числа отражений в прямых) можно один перевести в другой — вместе с соответствующим циклическим порядком! И будем говорить, что антиконгруэнтны, если потребуется несобственная изометрия (нечётное число отражений).

Площадью $S(\pi)$ ориентированного прямоугольника $\pi$ будем считать некоторое вещественное число, удовлетворяющее аксиомам ниже, а площадью неориентированного будем считать модуль площади его с любой ориентацией (корректно по аксиоме 1).

1. $S(\pi_1) = \pm S(\pi_2)$, если $\pi_1, \pi_2$ соответственно конгруэнтны (+) или антиконгруэнтны (−).
 • Отсюда следует, что площадь вырожденного прямоугольника нулевая, потому что он антиконгруэнтен сам себе.

2. Пусть $\pi_1 = AA'B'B$, $\pi_2 = A'A''B''B'$, $\pi = AA''B''B$. Тогда:
 2а. $S(\pi) = S(\pi_1) + S(\pi_2)$.
 2б. $S(\pi_1) : S(\pi_2) = \overrightarrow{AA'} : \overrightarrow{A'A''}$. Если векторы не введены, можно записать не так удобно:
 2б′. $|S(\pi_1)| : |S(\pi_2)| = |AA'| : |A'A''|$. Или:
 2б″. $S(\pi_1) : S(\pi_2) = |AA'| : |A'A''|$ при условии что $A'$ лежит на отрезке $AA''$.

3. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1.

Отсюда можно доказать, что $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, но цена этого — довольно сильная аксиома 2б, использующая умножение чисел. Сделать так, чтобы нам не потребовалось даже косвенно использовать в доказательстве дистрибутивность, будет наверно хитро. И вообще мы аксиомы-то написали, но не показали, что они ведут себя хорошо; вдруг с их помощью можно доказать что угодно?..