Решаем, при данных

, в целых числах неравенство

где

(следовательно,

)
при условиях:

,

- четно,

.
Нас интересует наименьшее возможное

, и решение оригинальной задачи -

.
1а. Пусть

.

Избавляясь от дробных частей (слева она отрицательна и по модулю меньше 1, справа - положительна, и также меньше 1) получаем уже целочисленное неравенство:

Его решение - все числа вида

.
Переберем

.

:

, откуда

. Тогда

- четное число, и

При б
ольших

получаем, что

, тогда

, уже не минимальные решения.
1б. Пусть

.

Как и в предыдущем случае, избавляемся от дробей:


(

- четно):

. Единственное решение -

. Но оно годится лишь при четном

, и, проверяя аналогично, убеждаемся, что оно минимально. Что при нечетном

?
Рассмотрим

(

- нечетно, следовательно,

- нечетно):

. Как видно, следует выбрать

.
Если будем искать

, то

только возрастает, и эти решения (каждое в своем случае) - действительно минимальны.
2.

.
Тогда

, и дробная часть левого неравенства положительна и меньше 1,
а

, то есть дробная часть правого неравенства положительна и не превышает 1. Тогда все неравенство выглядит так:

Видно, что при

возникает выражение

, поэтому сразу переходим к следующим значениям.

(

нечетно):

. У него только одно решение -

, и оно удовлетворяет всем условиям только для четного

и нечетного

.

(

четно):

. У него два решения:

. При четном

выбираем минимальное -

(для минимизации

), при нечетном

- годится только одно, и это

, причем

тоже должно быть нечетно, иначе годится меньшее решение - с

.
Перечислим

: $u(v+2p+1)+1<u(2v+2p+1)+2<u(2v+2p+2)+2=2vu+2pu+w+2u-(w-1)+1=2vu+v+u2u-(w-1)+1<2vu+v+2u+1
Заметим, что при больших

имеем:

, так что

Но

, поэтому найденные пары дают наименьшие

, то есть, наименьшие

.
Аналогично, рассматриваем противоположный случай:
3.

.
Тогда

, и дробная часть левого неравенства положительна и меньше 1, после выделения 1;
а

, и, выделив единицу, опять справа получаем дробнуючасть, которая положительна и не превышает 1. Неравенство похоже на предыдущее с одним отличием (так мы сможем воспользоваться предыдущими результатами):

Здесь так же не годится

.
Для

, то есть нечетного

, одно решение

. Здесь

должно быть нечетным, как и

, то есть это решение годится для нечетного

:

.
Для

, четного

, два решения:

. Видно, что, выбрав меньшее, получим гарантированно четное

, так что это тоже решение.
Рассмотрим условие минимальности

при данном

. Одновременно минимально и

:

Тогда как при

получаем

,

Рассмотрим разность.

Как видно, при

она положительна, поэтому следующие решения больше найденных.
Таким образом, перечислены все случаи соотношения

, кроме особого:

. (сводная таблица в одном из предыдущих сообщений)
Но в этом случае

- то есть

. Неопределенность возникла только в третьей секции, то есть должно быть

, или

одновременно, что невозможно,
поэтому указанное решение исчерпывающе и минимально.
Собственно, таким образом можно найти параметрическое решение для всех

, не только минимального. Если требуется найти решение(-я) не для двух, а для трех первых элементов цепной дроби, то это тоже должно быть возможно похожим путем, но потребуются чересчур многоэтажные дроби, а количество параметров растет в геометрической прогресии...