Единицы в кольце

[Sonic86]

Задача: найти все единицы (обратимые элементы) кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$

Сами единицы я нашел. Не могу допереть до способа доказательства того, что это - все единицы.
может, подскажете?

[arqady]

Sonic86 писал(а):

Задача: найти все единицы (обратимые элементы) кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$

Сами единицы я нашел. Не могу допереть до способа доказательства того, что это - все единицы.
может, подскажете?

Вы же систему решали. Насколько я понял, и решили - единицы нашли. Ну так всё: других решений нет.

[Sonic86]

Нет! Не решал я систему!
Думал так: в этом кольце нет единиц конечного порядка (по понятным причинам), значит $1+a+a^2$ и $-1+a$ ($a= \sqrt[3]{2}$) и все их степени - единицы. Группа их получилась изоморфной кольцу $\mathbb{Z}$. И все. А система - диофантова из 3-х уравнений с 3-я неизвестными 3-ей степени. Я такие решать не умею!!!

[maxal]

Посмотрите упражнение 7 на стр. 285 в Ленг С. — Алгебра

[Коровьев]

Sonic86 писал(а):

Задача: найти все единицы (обратимые элементы) кольца $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$

Сами единицы я нашел. Не могу допереть до способа доказательства того, что это - все единицы.
может, подскажете?

Теорема Дирихле.
В произвольном порядке $\mathbb{D} $поля плгебраических чисел $\mathbb{K}$степени n=s+2t
существуют такие единицы q_1,...q_r, r=s+t-1 что каждая единица однозначно представляется в виде произведения их степеней, умноженного на некоторый корень из единицы, содержащийся в $\mathbb{D} $.
*****
Здесь - $s$ - число вещственных изоморфизмов поля $\mathbb{K}$, $2t$ - мнимых.
Кубические поля $\mathbb{R}[\sqrt[3]{d}]$ имеют один вещественный и два мнимых изоморфизма.Следовательно, $r=1$, и имеется только одна основная единица.
Для $\mathbb{R}[\sqrt[3]{2}]$ это $ \pm(1+\sqrt[3]{2})$
Остальные единицы есть любая степень основной.
*****
Задача нахождения основных единиц, хоть теоретически и решена, практически очень сложна.

[Sonic86]

Я посмотрел это упражение, потом все осталные и ничего не понял . Вы мне пока не пишите, если неохота, я еще сам помучаюсь
Коровьев, а почему те числа, которые Вы написали - единицы?

[Коровьев]

Sonic86 писал(а):

Коровьев, а почему те числа, которые Вы написали - единицы?

У меня ошибка.
Вместо плюса надо минус
Правильно так
Для $\mathbb{R}[\sqrt[3]{2}]$ это $ \pm(1-\sqrt[3]{2})$ и все её степени.
В самом деле, этот элемент обратим

\[ {\textstyle{1 \over {1 - \sqrt[3]{2}}}} = {\textstyle{1 \over {1 - \sqrt[3]{2}}}}{\textstyle{{1 - \varepsilon \sqrt[3]{2}} \over {1 - \varepsilon \sqrt[3]{2}}}}{\textstyle{{1 - \varepsilon ^2 \sqrt[3]{2}} \over {1 - \varepsilon ^2 \sqrt[3]{2}}}} = {\textstyle{{1 + \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 } \over {1 - (\sqrt[3]{2})^3 }}} = - 1 - \sqrt[3]{2} - (\sqrt[3]{2})^2 \]

где

\[ \begin{array}{l} \varepsilon = e^{{\textstyle{{^{2\pi i} } \over 3}}} = \cos {\textstyle{{^{2\pi } } \over 3}} + \sin {\textstyle{{^{2\pi } } \over 3}} \\ \varepsilon ^3 = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1 \\ \end{array} \]

Ну и все степени тоже будут единицами/обратимыми элементами/.

\[ ({\textstyle{1 \over {1 - \sqrt[3]{2}}}})^k = ( - 1 - \sqrt[3]{2} - (\sqrt[3]{2})^2 )^k \]

По теореме Дирихле других единиц отличных от этих не существует.

[Echo-Off]

Коровьев
Действительно, элемент

$$\pm (1-\sqrt[3]2)$$

обратим. Но почему он является основной единицей? Почему любая другая единица - его степень?

[Коровьев]

Echo-Off писал(а):

Коровьев
Действительно, элемент

$$\pm (1-\sqrt[3]2)$$

обратим. Но почему он является основной единицей? Почему любая другая единица - его степень?

А можно ли получить основную единицу из другой, являющейся степенью основной? Нет. Это возможно только в конечных полях.
То, что она основная требует, естественно, несложных, но доказательств.