Предельная точка множества значений последовательности

[student1138]

Здравствуйте.
В учебнике Колмогорова и Фомина по функц.анализу дается такое определение счетно-компактного пространства:

Цитата:

Пространство T называется счетно-компактным, если каждое его бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.

И доказывается что в счетно-компактном пространстве каждая счетная центрированная система замкнутых множеств
в Т имеет непустое пересечение (глава 2, параграф 6, теорема 9).

В процессе доказательства строится последовательность различных точек (множество значений которой будет бесконечным) и далее утверждается, что в силу счетной компактности она (последовательность) должна иметь предельную точку.

И вот этот момент я не могу понять. Ведь предельная точка множества и предельная точка последовательности - это не одно и то же. Если точка является предельной для множества значений последовательности, то не очевидно что она будет являться предельной для последовательности. Например, вдруг все окрестности этой точки содержат только один элемент из последовательности (все один и тот же). В этом случае точка является предельной для множества но не является предельной для последовательности. Или я что-то неправльно понимаю? Или может в этом месте в учебнике ошибка?

[gris]

а что такое предельная точка последовательности?

[ewert]

student1138 в сообщении #1486960 писал(а):

Ведь предельная точка множества и предельная точка последовательности - это не одно и то же.

Да, но смотря что называть предельной точкой множества. Колмогоров и Фомин (как и большинство) изолированные точки не считают предельными (гл.2, пар.2, п.1). Вы же явно считаете, судя по

student1138 в сообщении #1486960 писал(а):

вдруг все окрестности этой точки содержат только один элемент из последовательности

[student1138]

gris в сообщении #1486961 писал(а):

а что такое предельная точка последовательности?

В этом учебнике такого определения не давалось (для топологических пространств) так что я думаю по аналогии с числовыми последовательностями: это предел какой-либо подпоследовательности.

-- 13.10.2020, 19:49 --

ewert в сообщении #1486962 писал(а):

Да, но смотря что называть предельной точкой множества. Колмогоров и Фомин (как и большинство) изолированные точки не считают предельными (гл.2, пар.2, п.1). Вы же явно считаете, судя по

Вообще да, хотя бы одна окрестность (все пространство) будет содержать все точки последовательности. Так что этот мой пример не имеет места.

[gris]

Если изолированные точки множества не считать предельными, то это как бы соответствует другому утверждению: Если точка является предельной для последовательности, то не очевидно что она будет являться предельной для множества значений последовательности.
Ну да, это предел какой-то подпоследовательности. Я подумал, что <неважно>

[ewert]

student1138 в сообщении #1486963 писал(а):

В этом учебнике такого определения не давалось (для топологических пространств)

Давалось для метрических, а поскольку всё определялось только в терминах окрестностей, то какая разница. У К.-Ф. различаются предельные и изолированные точки, в совокупности же они называются ночками прикосновения.

И, кстати, в топологических пространствах точки прикосновения и предельные тоже определялись -- естественно, точно так же, как и в метрических (гл.2, пар.5, п.1).

[student1138]

gris в сообщении #1486964 писал(а):

Но это как бы соответствует другому утверждению: Если точка является предельной для последовательности, то не очевидно что она будет являться предельной для множества значений последовательности.

Почему, очевидно. Тогда любая окрестность этой точки будет содержать элементы последовательности, т.е. элементы из множества ее значений. А значит точка будет предельной для этого множества.

[gris]

я подумал о последовательности, состоящей их одной точки бесконечное количество раз. Так можно?

[student1138]

gris в сообщении #1486968 писал(а):

я подумал о последовательности, состоящей их одной точки бесконечное количество раз. Так можно?

Вообще в этой теореме построили именно последовательность из всех различающихся значений. Но давайте разберем ваш пример. Например в связном двоеточии.
Пусть топология состоит из следующих множеств: $ \varnothing, \left\lbrace a \right\rbrace, \left\lbrace a, b \right\rbrace $
Пусть наша последовательность имеет вид $a, a, a, ...$
Точка $b$ является предельной для последовательности (и заодно ее пределом). И для множества значений последовательности ( $ \left\lbrace a \right\rbrace $ ) она тоже является предельной. Вроде бы.

[gris]

я имел в виду, что ПТП может и не быть ПТМ. А чаще всего она ПТМ, конечно.

[student1138]

gris в сообщении #1486971 писал(а):

я имел в виду, что ПТП может и не быть ПТМ.

Как такое возможно?

[gris]

Я же оговорил, что "Если изолированные точки множества не считать предельными". Имеется в виду множество значений же. ну взять любое пространство и произвольную точку $a$. Она ПТП для $(a,a,a,a,...)$, но не ПТМ для $\{a\}$
Ну если все точки разные, тогда ПТП не может быть изолированной, и мои рассуждения не актуальны для этого случая. Они про другое. Сами по себе.

[student1138]

ewert в сообщении #1486965 писал(а):

естественно, точно так же, как и в метрических

Не так же.
Для метрических предельную точку определили как точку, в любой окрестности которой есть бесконечное количество точек из множества:

Цитата:

Точка $x \in R$ называется предельной точкой множества $M \subset R$,
если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из $ M $.

А для топологических требуют хотя бы одной точки, отличной от определяемой:

Цитата:

x называется предельной точкой множества М, если каждая окрестность точки х содержит хотя
бы одну точку из М, отличную от х.

[student1138]

Если не сложно, объясните, пожалуйста, как в этой теореме сделан вывод о существовании у последовательности предельной точки?

[Someone]

student1138 в сообщении #1486993 писал(а):

ewert в сообщении #1486965 писал(а):

естественно, точно так же, как и в метрических

Не так же.
Для метрических предельную точку определили как точку, в любой окрестности которой есть бесконечное количество точек из множества:

Цитата:

Точка $x \in R$ называется предельной точкой множества $M \subset R$,
если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из $ M $.

А для топологических требуют хотя бы одной точки, отличной от определяемой:

Цитата:

x называется предельной точкой множества М, если каждая окрестность точки х содержит хотя
бы одну точку из М, отличную от х.

В хаусдорфовых пространствах (где каждые две различные точки имеют непересекающиеся окрестности) и даже в $T_1$-пространствах (где каждое одноточечное множество замкнуто) первое определение равносильно второму. Метрические пространства хаусдорфовы.

Точка $a$ называется предельной точкой последовательности $(a_1,a_2,a_3,\ldots)$, если каждая окрестность точки $a$ содержит бесконечное число членов этой последовательности.
В пространствах с первой аксиомой счётности (где каждая точка имеет не более чем счётную базу окрестностей) это равносильно существованию подпоследовательности, сходящейся к точке $a$. Метрические пространства являются пространствами с первой аксиомой счётности.