Квадрат суммы (осторожно - возможно тупой вопрос)

[bayah]

Есть формула $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Докажем это тождество двумя способами:

1). Алгебраически:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

2). Геометрически:


Собственно вопросы:
а) Является ли геометрическое доказательство 2) доказательством, что $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$?
b) В случае алгебраического доказательства 1) мы воспользовались свойством дистрибутивности для того, чтобы раскрыть скобки. В случае же геометрического доказательства 2) не понятно как это свойство там использовалось. Если же оно там не использовалось, то геометрическое доказательство 2) и алгебраическое 1) это доказательства чего-то разного?
с) Вообще, может я сам до конца не понял свои вопросы, помимо вышеизложенных, но ощущение что тут что-то не так. Не понятно, почему геометрическое рассмотрение 2) может что-то говорить о по-сути чисто алгебраическом свойстве.

Или я гоню вообще?)

[gris]

А как выводить формулу площади произвольного квадрата и прямоугольника без дистрибутивности?
Интересно, что у Атанасяна в учебнике геометрии для 8 кл. приведённый вами чертёж используется как раз для вывода формулы площади прямоугольника через алгебраическую формулу квадрата суммы .
Вопросы площади — самые сложные вопросы в школьной геометрии ( ). Именно в строгости их вывода и непоняток школьников зачем это так сложно?

Null, я не возьмусь спорить. Хотя мне кажется, что скобки где-то раскрываются. А возможно, что и нет.

[Null]

gris в сообщении #1486727 писал(а):

А как выводить формулу площади произвольного квадрата и прямоугольника без дистрибутивности?

В начале для рациональных, потом оценками сверху и снизу.

[alisa-lebovski]

А если одно или оба слагаемых отрицательны?

[Emergency]

alisa-lebovski в сообщении #1486733 писал(а):

А если одно или оба слагаемых отрицательны?

А что это меняет?

[alisa-lebovski]

Emergency в сообщении #1486747 писал(а):

А что это меняет?

Если одно из слагаемых отрицательно, но сумма положительна, то понадобится другая картинка. Если сумма отрицательна, это не изображается.

[Emergency]

alisa-lebovski в сообщении #1486755 писал(а):

Если одно из слагаемых отрицательно, но сумма положительна, то понадобится другая картинка. Если сумма отрицательна, это не изображается.

Отобразите сумму отрицательных отрезков в другом квадранте. :)

[bayah]

gris в сообщении #1486727 писал(а):

А как выводить формулу площади произвольного квадрата и прямоугольника без дистрибутивности?

Так вот я как раз не вижу как эта дистрибутивность там используется. Может подскажите?

gris в сообщении #1486727 писал(а):

Интересно, что у Атанасяна в учебнике геометрии для 8 кл. приведённый вами чертёж используется как раз для вывода формулы площади прямоугольника через алгебраическую формулу квадрата суммы .

Не правда.
Там не используется алгебраическое утверждение, что $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Там как раз это утверждение получается из геометрических свойств площадей.
Свойство 1. Равные многоугольники имеют равные площади.
Свойство 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

[gris]

ну как же Ведь свойство $3^0$ говорит, что площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$. И формула квадрата суммы там приведена в левой части.
А дистрибутивность в завуалированном виде нужна даже при выводе площади квадрата с натуральной стороной $n>1$. Да и все околопредельные рассуждения без основных свойств чисел не основательны. Впрочем, дистрибутивность умножения над сложением для натуральных чисел не вводится аксиоматически, а доказывается. Так что её использование это просто удобство. Ну это уже ковыряние основ.
Впрочем, ваш основной вопрос относится скорее к методике построения курса. Можно по-разному выстроить последовательность теорем. Так что картинка вполне может быть доказательством формулы квадрата суммы двух положительных чисел или служить к ней хорошей иллюстрацией.
Интересно, а существует ли подобная формула в недистрибутивных образованиях?

[bayah]

gris в сообщении #1486798 писал(а):

ну как же Ведь свойство $3^0$ говорит, что площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$.

Да, но там есть потом и доказательство этого свойства. И в этом доказательстве я тоже не увидел применение дистрибутивности.

gris в сообщении #1486798 писал(а):

И формула квадрата суммы там приведена в левой части.

Ну это просто из определения площади квадрата следует запись.

gris в сообщении #1486798 писал(а):

А дистрибутивность в завуалированном виде нужна даже при выводе площади квадрата с натуральной стороной $n>1$.

Вот я ее и не могу усмотреть.

gris в сообщении #1486798 писал(а):

Впрочем, дистрибутивность умножения над сложением для натуральных чисел не вводится аксиоматически, а доказывается.

А как?

gris в сообщении #1486798 писал(а):

Впрочем, ваш основной вопрос относится скорее к методике построения курса. Можно по-разному выстроить последовательность теорем. Так что картинка вполне может быть доказательством формулы квадрата суммы двух положительных чисел или служить к ней хорошей иллюстрацией.

Нет, мой вопрос не про методику построения курса. Мой вопрос о тождественности или не тождественности этих двух доказательств формулы квадрата суммы. Если они тождественны, то я хочу понять как именно. Просто если формула квадрата суммы выводится просто применением дистрибутивности, то геометрические построения кажутся излишними и странными, в том смысле, что зачем нам понадобилась геометрия, чтобы выразить алгебраическое тождество? Или случилось так, что эта геометрическая интерпретация не использует ничего геометрического? Если же используются какие-то геометрические свойства, без использования дистрибутивности, то тогда вовсе выходит, что для чисто алгебраической формы это не является доказательством.
А вопрос о построении курса, я так понимаю, может стоять если это действительно тождественные доказательства. Когда не имеет значения в каком виде сформулировать утверждение.

gris в сообщении #1486798 писал(а):

Интересно, а существует ли подобная формула в недистрибутивных образованиях?

Вот да, интересно.
Если вы утверждаете что дистрибутивность неявно используется в этом геометрическом рассмотрении, то она необходима, и значит ответ - нет. Так?

[gris]

Из формулы площади квадрата и свойства аддитивности площади мы получаем $(a+b)^2=S+S +a^2+b^2$ Вопрос: откуда взялось равенство $a^2+2ab+b^2=2S +a^2+b^2$
Его левая часть и $2S$?
Ну это про Атанасяновский вывод формулы площади прямоугольника.

Да что вам далась эта дистрибутивность? Она есть у действительных чисел. И всё.
Когда в геометрии мы вводим понятие длины отрезка как положительного числа, мы принимаем с множеством действительных чисел и все его алгебраические и даже топологические свойства. Добавляем аддитивность. Вывод формулы площади квадрата использует алгебраические свойства действительных чисел. Что такое чистая геометрия без алгебры? Без длины и величины угла?

Доказательство дистрибутивности натуральных чисел зависит от системы аксиом или от определения натуральных чисел иным способом. У Пеано через индукцию. У Бурбаков забыл как.

Насчёт недистрибутивности не знаю. Даже в кольцах её требуют аксиоматически. Ну какие-то алгебраические штуки (боюсь назвать их структурами) с двумя операциями без требования дистрибутивности существуют, но можно ли на их основе построить измерение фигур

Есть методика обучения детей арифметическим навыкам посредством одинаковых квадратиков. Собственно, это представление натуральных чисел как мощностей конечных множеств. Главное — запомнить названия натуральных чисел до разумного количества. И научиться пересчитывать квадратики и раскладывать их разными способами. Умножение как раз через прямоугольники приходит. И ваша дистрибутивность, как и ассоциативность с коммутативностью, легко демонстрируется. Там и делимость видна, и прочие вещи. Но это не доказательства. Это наглядные и довольно эффективные иллюстрации для детей.
А строгие доказательства очевидных и естественных положений, относящихся к основам, весьма кропотливы и злят.

[bayah]

gris в сообщении #1486806 писал(а):

Из формулы площади квадрата и свойства аддитивности площади мы получаем $(a+b)^2=S+S +a^2+b^2$ Вопрос: откуда взялось равенство $a^2+2ab+b^2=2S +a^2+b^2$

Да, вы правы, тут явно использована формула квадрата суммы.
Я ошибся, согласен.
Но остальные вопросы остаются.

gris в сообщении #1486806 писал(а):

Да что вам далась эта дистрибутивность? Она есть у действительных чисел. И всё.

Просто если она уже есть для чисел, то доказательство формулы квадрата суммы геометрически в лучшем случае избыточно. (это я уже не про Атанасяновское доказательство, а про свое из первого сообщения).

gris в сообщении #1486806 писал(а):

Насчёт недистрибутивности не знаю. Даже в кольцах её требуют аксиоматически. Ну какие-то алгебраические штуки (боюсь назвать их структурами) с двумя операциями без требования дистрибутивности существуют, но можно ли на их основе построить измерение фигур

Вот, да. Если можно, допустим, то получится, что такое геометрическое доказательство будет утверждением только для геометрического случая, а не для чисел вообще. Собственно вот такое ощущение меня и смущает в случае примера, который я привел. Мне не понятно почему геометрический случай говорит о числах вообще.

gris в сообщении #1486806 писал(а):

А строгие доказательства очевидных и естественных положений, относящихся к основам, весьма кропотливы и злят.

Ну не таких и очевидных, если как раз вдумываться. А еще больше злит непонимание фундаментальных основ.)

[gris]

Одна из аксиом геометрии привязывает длину отрезка к положительным действительным числам. Чтобы не связываться с пределами надо аксиоматизировать формулу площади прямоугольника. И всё! Для школьников это понятнее. Этим мы обеспечим и аддитивность площади, и дистрибутивность алгебраической системы, дающей длины.
Я бы ещё аксиоматизировал теорему Пифагора вместо этого пятого постулата. А то наизобретали тысячу способов её доказателства. А вы говорите об избыточности вашего геометрического доказательства. Кстати, его можно провести без всякого чертежа.

[alisa-lebovski]

Emergency в сообщении #1486777 писал(а):

Отобразите сумму отрицательных отрезков в другом квадранте. :)

Смотря, это изучается до координатного метода или после.

[Emergency]

Да, об этом я не подумал. :(